lim _{n rightarrow infty}left(frac{n^{2}}{lef | vedclass

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Question

(A) दिए गए व्यंजक को $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{n^{2}}{(n^{2}+r^{2})(n+r)}$ के रूप में लिखा जा सकता है।अंश और हर को $n^3$ से व

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$\frac{\pi}{8}+\frac{1}{4} \log _{ e } 2$

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(A) दिए गए व्यंजक को $\lim _{n ightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{n^{2}}{(n^{2}+r^{2})(n+r)}$ के रूप में लिखा जा सकता है।अंश और हर को $n^3$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:$\lim _{n ightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{1}{n \left(1+(\frac{r}{n})^{2}ight)(1+\frac{r}{n})}$.यह एक रीमान योग है,जिसे निश्चित समाकलन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:$\int_{0}^{1} \frac{dx}{(1+x^{2})(1+x)}$.आंशिक भिन्न विधि का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{(1+x^{2})(1+x)} = \frac{1}{2(1+x)} - \frac{x-1}{2(1+x^{2})}$.अतः,समाकलन $\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{dx}{1+x} - \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{x-1}{1+x^{2}} dx$ हो जाता है।$= \frac{1}{2} [\ln(1+x)]_{0}^{1} - \frac{1}{2} [\frac{1}{2} \ln(1+x^{2}) - 	an^{-1} x]_{0}^{1}$.$= \frac{1}{2} \ln 2 - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \ln 2 - \frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{8} + \frac{1}{4} \ln 2$.

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n^{2}}{\left(n^{2}+1\right)(n+1)}+\frac{n^{2}}{\left(n^{2}+4\right)(n+2)}+\frac{n^{2}}{\left(n^{2}+9\right)(n+3)}+\ldots+\frac{n^{2}}{\left(n^{2}+n^{2}\right)(n+n)}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \,\left( {\frac{n}{{{n^2} + {1^2}}} + \frac{n}{{{n^2} + {2^2}}} + \frac{n}{{{n^2} + {3^2}}} + ... + \frac{n}{{{n^2} + {{(2n)}^2}}}} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित निश्चित समाकल का योगफल की सीमा के रूप में मान ज्ञात कीजिए: $\int_{-1}^{1} e^{x} dx$

सीमा का मान ज्ञात कीजिए: $\mathop {\lim}\limits_{n \to \infty } \frac{\pi }{2n} \left( 1 + \cos \frac{\pi }{2n} + \cos \frac{2\pi }{2n} + \dots + \cos \frac{(n - 1)\pi }{2n} \right)$

$\lim _{n \rightarrow \infty} n\left[\frac{1}{3 n^2+8 n+4}+\frac{1}{3 n^2+16 n+16}+\ldots+\frac{1}{15 n^2}\right]=$

निश्चित समाकल की परिभाषा के अनुसार,$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^2-1^2}}+\frac{1}{\sqrt{n^2-2^2}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{n^2-(n-1)^2}}\right)$ का मान किसके बराबर है?

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