intlimits_{0}^{5} cos left(pileft(x-left[frac | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int\limits_{0}^{5} \cos \left(\pi x - \pi \left[\frac{x}{2}\right]\right) d x$.हम समाकलन को उन अंतरालों पर विभाजित करते हैं जहाँ $\left

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(D) माना $I = \int\limits_{0}^{5} \cos \left(\pi x - \pi \left[\frac{x}{2}\right]\right) d x$.हम समाकलन को उन अंतरालों पर विभाजित करते हैं जहाँ $\left[\frac{x}{2}\right]$ स्थिर है:$x \in [0, 2)$ के लिए,$\left[\frac{x}{2}\right] = 0$.$x \in [2, 4)$ के लिए,$\left[\frac{x}{2}\right] = 1$.$x \in [4, 5]$ के लिए,$\left[\frac{x}{2}\right] = 2$.अतः,$I = \int\limits_{0}^{2} \cos(\pi x) d x + \int\limits_{2}^{4} \cos(\pi x - \pi) d x + \int\limits_{4}^{5} \cos(\pi x - 2\pi) d x$.प्रत्येक समाकलन का मूल्यांकन करने पर:$\int\limits_{0}^{2} \cos(\pi x) d x = \left[\frac{\sin(\pi x)}{\pi}\right]_{0}^{2} = \frac{\sin(2\pi) - \sin(0)}{\pi} = 0$.$\int\limits_{2}^{4} \cos(\pi x - \pi) d x = \left[\frac{\sin(\pi x - \pi)}{\pi}\right]_{2}^{4} = \frac{\sin(3\pi) - \sin(\pi)}{\pi} = 0$.$\int\limits_{4}^{5} \cos(\pi x - 2\pi) d x = \left[\frac{\sin(\pi x - 2\pi)}{\pi}\right]_{4}^{5} = \frac{\sin(3\pi) - \sin(2\pi)}{\pi} = 0$.इसलिए,$I = 0 + 0 + 0 = 0$.

$\int\limits_{0}^{5} \cos \left(\pi\left(x-\left[\frac{x}{2}\right]\right)\right) d x$,जहाँ $[t]$ का अर्थ $t$ से कम या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक है,का मान है:

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