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Question

(A) माना $f(x) = \int_{x^3}^{(\pi / 2)^3} (\sin (2 t^{1 / 3}) + \cos (t^{1 / 3})) dt$. चूँकि सीमा $\frac{0}{0}$ के रूप में है,हम $L$'$H$ôpital नियम ला

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$\frac{9 \pi^2}{8}$

Vedclass · Answer

(A) माना $f(x) = \int_{x^3}^{(\pi / 2)^3} (\sin (2 t^{1 / 3}) + \cos (t^{1 / 3})) dt$. चूँकि सीमा $\frac{0}{0}$ के रूप में है,हम $L$'$H$ôpital नियम लागू करते हैं।Leibniz नियम का उपयोग करते हुए,$f'(x) = -(\sin(2x) + \cos(x)) \cdot 3x^2$.सीमा $\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{-3x^2(\sin(2x) + \cos(x))}{2(x - \frac{\pi}{2})}$ हो जाती है।$x \rightarrow \frac{\pi}{2}$ के लिए,$h = x - \frac{\pi}{2}$ लें,तो $x = h + \frac{\pi}{2}$.$= \lim _{h}$ ${\rightarrow 0} \frac{-3(h + \frac{\pi}{2})^2(\sin(2h + \pi) + \cos(h + \frac{\pi}{2}))}{2h} = \frac{9\pi^2}{8}$.

$\lim _{x}$ ${\rightarrow \frac{\pi}{2}} \left( \frac{\int_{x^3}^{(\pi / 2)^3} (\sin (2 t^{1 / 3}) + \cos (t^{1 / 3})) dt}{(x - \frac{\pi}{2})^2} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए:

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यदि $y = \tan^{-1} \sqrt{\frac{1-\sin x}{1+\sin x}}$ है, तो $x = \frac{\pi}{6}$ पर $\frac{dy}{dx}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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