m द्रव्यमान और r त्रिज्या का एक ठोस गोला L लं | vedclass

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Question

(A) कार्य-ऊर्जा प्रमेय $(WET)$ का उपयोग करते हुए: $W_g = K_f - K_i$ चूंकि गोला विरामावस्था से शुरू होता है,$K_i = 0$। गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया का

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$1: \sqrt{2}$

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(A) कार्य-ऊर्जा प्रमेय $(WET)$ का उपयोग करते हुए: $W_g = K_f - K_i$ चूंकि गोला विरामावस्था से शुरू होता है,$K_i = 0$। गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य $W_g = mgL \sin 	heta$ है। शुद्ध लोटनिक गति (pure rolling) में कुल गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ इस प्रकार है: $K_f = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} I_{cm} \omega^2$ एक ठोस गोले के लिए,$I_{cm} = \frac{2}{5} mr^2$ और शुद्ध लोटनिक गति के लिए,$\omega = \frac{v}{r}$। $K_f = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{2} (\frac{2}{5} mr^2) (\frac{v^2}{r^2}) = \frac{1}{2} mv^2 + \frac{1}{5} mv^2 = \frac{7}{10} mv^2$। किए गए कार्य को गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर रखने पर: $mgL \sin 	heta = \frac{7}{10} mv^2$ $v^2 = \frac{10}{7} gL \sin 	heta$ इसका अर्थ है कि $v^2 \propto \sin 	heta$। अतः,अनुपात है: $\frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{\sin 30^{\circ}}{\sin 45^{\circ}} = \frac{1/2}{1/\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$। इस प्रकार,$v_1^2 : v_2^2$ का अनुपात $1 : \sqrt{2}$ है।

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