एक वक्र बिंदु left(1, frac{pi}{6}right) से हो | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \sec \left(\frac{y}{x}\right)$ है।यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $y = vx$,तो $\frac{d

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$\sin \left(\frac{y}{x}\right)=\log (x)+\frac{1}{2}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \sec \left(\frac{y}{x}\right)$ है।यह एक समघातीय अवकल समीकरण है। मान लीजिए $y = vx$,तो $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ होगा।इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = v + \sec(v)$।यह सरल होकर $x \frac{dv}{dx} = \sec(v)$ बन जाता है,जिसे $\cos(v) dv = \frac{1}{x} dx$ के रूप में लिखा जा सकता है।दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \cos(v) dv = \int \frac{1}{x} dx$,जिससे $\sin(v) = \log(x) + c$ प्राप्त होता है।$v = \frac{y}{x}$ वापस रखने पर,हमें $\sin \left(\frac{y}{x}\right) = \log(x) + c$ प्राप्त होता है।वक्र बिंदु $\left(1, \frac{\pi}{6}\right)$ से होकर गुजरता है,इसलिए $\sin \left(\frac{\pi/6}{1}\right) = \log(1) + c$ होगा।चूंकि $\sin \left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$ और $\log(1) = 0$,इसलिए $c = \frac{1}{2}$ है।अतः,वक्र का समीकरण $\sin \left(\frac{y}{x}\right) = \log(x) + \frac{1}{2}$ है।

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