int_{frac{pi}{5}}^{frac{3 pi}{10}} frac{tan x | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int_{\frac{\pi}{5}}^{\frac{3 \pi}{10}} \frac{	an x}{	an x + \cot x} \, dx \quad \dots(1)$ गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}

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$\frac{\pi}{20}$

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(D) माना $I = \int_{\frac{\pi}{5}}^{\frac{3 \pi}{10}} \frac{	an x}{	an x + \cot x} \, dx \quad \dots(1)$ गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) \, dx$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a = \frac{\pi}{5}$ और $b = \frac{3 \pi}{10}$,हमें $a+b = \frac{\pi}{5} + \frac{3 \pi}{10} = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है। अतः,$I = \int_{\frac{\pi}{5}}^{\frac{3 \pi}{10}} \frac{	an(\frac{\pi}{2}-x)}{	an(\frac{\pi}{2}-x) + \cot(\frac{\pi}{2}-x)} \, dx$. चूँकि $	an(\frac{\pi}{2}-x) = \cot x$ और $\cot(\frac{\pi}{2}-x) = 	an x$,इसलिए: $I = \int_{\frac{\pi}{5}}^{\frac{3 \pi}{10}} \frac{\cot x}{\cot x + 	an x} \, dx \quad \dots(2)$ समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर: $2I = \int_{\frac{\pi}{5}}^{\frac{3 \pi}{10}} \frac{	an x + \cot x}{	an x + \cot x} \, dx = \int_{\frac{\pi}{5}}^{\frac{3 \pi}{10}} 1 \, dx$ $2I = [x]_{\frac{\pi}{5}}^{\frac{3 \pi}{10}} = \frac{3 \pi}{10} - \frac{\pi}{5} = \frac{\pi}{10}$ $I = \frac{\pi}{20}$

$\int_{\frac{\pi}{5}}^{\frac{3 \pi}{10}} \frac{\tan x}{\tan x + \cot x} \, dx =$

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