जब x = 0, y = frac{1}{27} हो,तो frac{dy}{dx} | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = (x + 9y)^2$ है। माना $v = x + 9y$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dv}{dx} = 1 + 9\frac{dy}{dx}$ प्रा

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$3x + 27y = 	an \left[3\left(x + \frac{\pi}{12}ight)ight]$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = (x + 9y)^2$ है। माना $v = x + 9y$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dv}{dx} = 1 + 9\frac{dy}{dx}$ प्राप्त होता है। अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{9} \left(\frac{dv}{dx} - 1ight)$। इसे मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{9} \left(\frac{dv}{dx} - 1ight) = v^2$। $\frac{dv}{dx} - 1 = 9v^2 \implies \frac{dv}{dx} = 1 + 9v^2$। चरों को अलग करने पर: $\frac{dv}{1 + 9v^2} = dx$। दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dv}{1 + (3v)^2} = \int dx$। $\frac{1}{3} 	an^{-1}(3v) = x + C$। $	an^{-1}(3v) = 3x + 3C$। $3v = 	an(3x + C_1)$,जहाँ $C_1 = 3C$ है। $v = x + 9y$ रखने पर: $3(x + 9y) = 	an(3x + C_1) \implies 3x + 27y = 	an(3x + C_1)$। $x = 0, y = \frac{1}{27}$ दिया गया है: $3(0) + 27(\frac{1}{27}) = 	an(3(0) + C_1) \implies 1 = 	an(C_1)$। अतः,$C_1 = \frac{\pi}{4}$। विशिष्ट हल $3x + 27y = 	an(3x + \frac{\pi}{4})$ है। ध्यान दें कि $	an(3x + \frac{\pi}{4}) = 	an[3(x + \frac{\pi}{12})]$। अतः,सही विकल्प $A$ है।

जब $x = 0, y = \frac{1}{27}$ हो,तो $\frac{dy}{dx} = (x + 9y)^2$ का विशिष्ट हल क्या है?

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