int e^{tan ^{-1} x} left(1 + frac{x}{1 + x^2} | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int e^{	an ^{-1} x} \left(1 + \frac{x}{1 + x^2} ight) dx$. $t = 	an ^{-1} x$ प्रतिस्थापित करने पर,$x = 	an t$ और $dx = (1 + x^2) d

Vedclass · Accepted Answer

$x e^{	an ^{-1} x} + c$

Vedclass · Answer

(B) माना $I = \int e^{	an ^{-1} x} \left(1 + \frac{x}{1 + x^2} ight) dx$. $t = 	an ^{-1} x$ प्रतिस्थापित करने पर,$x = 	an t$ और $dx = (1 + x^2) dt = \sec^2 t dt$ प्राप्त होता है। अतः,$I = \int e^t \left(1 + \frac{	an t}{1 + 	an^2 t} ight) \sec^2 t dt$. चूँकि $1 + 	an^2 t = \sec^2 t$,व्यंजक $I = \int e^t \left(1 + \frac{	an t}{\sec^2 t} ight) \sec^2 t dt$ हो जाता है। $I = \int e^t (\sec^2 t + 	an t) dt$. मानक समाकलन सूत्र $\int e^t [f(t) + f'(t)] dt = e^t f(t) + c$ का उपयोग करने पर,जहाँ $f(t) = 	an t$ और $f'(t) = \sec^2 t$ है। इस प्रकार,$I = e^t 	an t + c$. $t = 	an ^{-1} x$ का मान वापस रखने पर,हमें $I = x e^{	an ^{-1} x} + c$ प्राप्त होता है।

$\int e^{\tan ^{-1} x} \left(1 + \frac{x}{1 + x^2} \right) dx$

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