फलन का समाकलन कीजिए: $\frac{2+\sin 2x}{1+\cos 2x} e^x$

माना $I = \int \left( \frac{2+\sin 2x}{1+\cos 2x} \right) e^x dx$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ और $1 + \cos 2x = 2 \cos^2 x$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \left( \frac{2 + 2 \sin x \cos x}{2 \cos^2 x} \right) e^x dx$
$I = \int \left( \frac{2(1 + \sin x \cos x)}{2 \cos^2 x} \right) e^x dx$
$I = \int \left( \frac{1}{\cos^2 x} + \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} \right) e^x dx$
$I = \int (\sec^2 x + \tan x) e^x dx$
हम जानते हैं कि $\int (f(x) + f'(x)) e^x dx = e^x f(x) + C$ होता है।
यहाँ,माना $f(x) = \tan x$,तो $f'(x) = \sec^2 x$ है।
अतः,$I = e^x \tan x + C$.