int frac{x^{2}}{(x sin x+cos x)^{2}} d x का म | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int \frac{x^{2}}{(x \sin x+\cos x)^{2}} d x$. हम जानते हैं कि $\frac{d}{d x}(x \sin x+\cos x) = \sin x + x \cos x - \sin x = x \cos x$.

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\sin x-x \cos x}{x \sin x+\cos x}+C$

Vedclass · Answer

(C) माना $I = \int \frac{x^{2}}{(x \sin x+\cos x)^{2}} d x$. हम जानते हैं कि $\frac{d}{d x}(x \sin x+\cos x) = \sin x + x \cos x - \sin x = x \cos x$. हम समाकलन को इस प्रकार लिख सकते हैं: $I = \int \left( \frac{x}{\cos x} ight) \left( \frac{x \cos x}{(x \sin x+\cos x)^{2}} ight) d x$. खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,माना $u = \frac{x}{\cos x}$ और $dv = \frac{x \cos x}{(x \sin x+\cos x)^{2}} d x$. तब $du = \frac{\cos x + x \sin x}{\cos^{2} x} d x$ और $v = \frac{-1}{x \sin x + \cos x}$. $I = \left( \frac{x}{\cos x} ight) \left( \frac{-1}{x \sin x + \cos x} ight) - \int \left( \frac{\cos x + x \sin x}{\cos^{2} x} ight) \left( \frac{-1}{x \sin x + \cos x} ight) d x$. $I = \frac{-x}{\cos x(x \sin x + \cos x)} + \int \sec^{2} x d x$. $I = \frac{-x}{\cos x(x \sin x + \cos x)} + 	an x + C$. सरल करने पर,$I = \frac{\sin x - x \cos x}{x \sin x + \cos x} + C$.

$\int \frac{x^{2}}{(x \sin x+\cos x)^{2}} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $f(x) = \int \left[ \tan^2 x + \cot^2 x + \frac{4(\sin^3 x + \cos^3 x)}{\sin^2 2x} \right] dx$ और $f\left(\frac{\pi}{4}\right) = 0$ है, तो $3 \left[ f\left(\frac{\pi}{6}\right) + 2 \right] = $

$\int \left(\frac{x-3}{x^2+9}\right)^2 \, dx =$

$\int(\sqrt{\tan x}+\sqrt{\cot x}) d x=$

फलन $f(x)$,जो शर्त $f(x)=x+\int_{0}^{\pi / 2} \sin x \cdot \cos y f(y) dy$ को संतुष्ट करता है,वह है:

$\int \frac{dx}{\sqrt{(x-1)(x-2)}}=$

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