int_{0}^{infty} frac{dx}{(x^{2}+4)(x^{2}+9)} | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int_{0}^{\infty} \frac{dx}{(x^{2}+4)(x^{2}+9)}$.आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{(x^{2}+4)(x^{2}+9)} = \frac{A}{x^{2}+4} + \fr

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$\frac{\pi}{60}$

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(B) माना $I = \int_{0}^{\infty} \frac{dx}{(x^{2}+4)(x^{2}+9)}$.आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{(x^{2}+4)(x^{2}+9)} = \frac{A}{x^{2}+4} + \frac{B}{x^{2}+9}$.$1 = A(x^{2}+9) + B(x^{2}+4)$.$x^{2} = -4$ रखने पर,$1 = A(5) \implies A = \frac{1}{5}$.$x^{2} = -9$ रखने पर,$1 = B(-5) \implies B = -\frac{1}{5}$.अतः,$I = \frac{1}{5} \int_{0}^{\infty} \left( \frac{1}{x^{2}+4} - \frac{1}{x^{2}+9} ight) dx$.सूत्र $\int \frac{dx}{x^{2}+a^{2}} = \frac{1}{a} 	an^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ का उपयोग करने पर:$I = \frac{1}{5} \left[ \frac{1}{2} 	an^{-1}(\frac{x}{2}) - \frac{1}{3} 	an^{-1}(\frac{x}{3}) ight]_{0}^{\infty}$.सीमाओं का मान रखने पर:$I = \frac{1}{5} \left[ (\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} - 0) - (\frac{1}{3} \cdot \frac{\pi}{2} - 0) ight]$.$I = \frac{1}{5} \left( \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} ight) = \frac{1}{5} \left( \frac{3\pi - 2\pi}{12} ight) = \frac{1}{5} \cdot \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{60}$.

$\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{(x^{2}+4)(x^{2}+9)} = $

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