यदि a_n = int_0^{frac{pi}{2}} frac{sin^2 nx}{ | vedclass

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Question

(C) अंतर $a_{n+1} - a_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2((n+1)x) - \sin^2(nx)}{\sin x} dx$ पर विचार करें। सर्वसमिका $\sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A

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हरात्मक श्रेणी

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(C) अंतर $a_{n+1} - a_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2((n+1)x) - \sin^2(nx)}{\sin x} dx$ पर विचार करें। सर्वसमिका $\sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A-B)\sin(A+B)$ का उपयोग करने पर,हमें $\sin^2((n+1)x) - \sin^2(nx) = \sin(x)\sin((2n+1)x)$ प्राप्त होता है। अतः,$a_{n+1} - a_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin(x)\sin((2n+1)x)}{\sin x} dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin((2n+1)x) dx$। समाकलन का मान ज्ञात करने पर: $a_{n+1} - a_n = \left[ -\frac{\cos((2n+1)x)}{2n+1} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = -\frac{1}{2n+1} (\cos((2n+1)\frac{\pi}{2}) - \cos(0)) = -\frac{1}{2n+1} (0 - 1) = \frac{1}{2n+1}$। $n=1$ के लिए,$a_2 - a_1 = \frac{1}{3}$। $n=2$ के लिए,$a_3 - a_2 = \frac{1}{5}$। $n=3$ के लिए,$a_4 - a_3 = \frac{1}{7}$। अनुक्रम $\frac{1}{3}, \frac{1}{5}, \frac{1}{7}, \dots$ है। चूंकि इनके व्युत्क्रम $3, 5, 7, \dots$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए यह अनुक्रम हरात्मक श्रेणी में है।

यदि $a_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2 nx}{\sin x} dx$ है,तो $a_2 - a_1, a_3 - a_2, a_4 - a_3$ किसमें हैं?

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