જો a_n = int_0^{frac{pi}{2}} frac{sin^2 nx}{s | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) તફાવત $a_{n+1} - a_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2((n+1)x) - \sin^2(nx)}{\sin x} dx$ ધ્યાનમાં લો. નિત્યસમ $\sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A-B)

Vedclass · Accepted Answer

હરાત્મક શ્રેણી

Vedclass · Answer

(C) તફાવત $a_{n+1} - a_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2((n+1)x) - \sin^2(nx)}{\sin x} dx$ ધ્યાનમાં લો. નિત્યસમ $\sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A-B)\sin(A+B)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\sin^2((n+1)x) - \sin^2(nx) = \sin(x)\sin((2n+1)x)$ મળે છે. આમ,$a_{n+1} - a_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin(x)\sin((2n+1)x)}{\sin x} dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin((2n+1)x) dx$. સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા: $a_{n+1} - a_n = \left[ -\frac{\cos((2n+1)x)}{2n+1} \right]_0^{\frac{\pi}{2}} = -\frac{1}{2n+1} (\cos((2n+1)\frac{\pi}{2}) - \cos(0)) = -\frac{1}{2n+1} (0 - 1) = \frac{1}{2n+1}$. $n=1$ માટે,$a_2 - a_1 = \frac{1}{3}$. $n=2$ માટે,$a_3 - a_2 = \frac{1}{5}$. $n=3$ માટે,$a_4 - a_3 = \frac{1}{7}$. શ્રેણી $\frac{1}{3}, \frac{1}{5}, \frac{1}{7}, \dots$ છે. કારણ કે તેમના વ્યસ્ત $3, 5, 7, \dots$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે,તેથી આ શ્રેણી હરાત્મક શ્રેણીમાં છે.

જો $a_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2 nx}{\sin x} dx$ હોય,તો $a_2 - a_1, a_3 - a_2, a_4 - a_3$ એ શેમાં છે?

Similar Questions

$\int\limits_{ - 1}^{\frac{3}{2}} {|x\sin \pi x|dx} $ ની કિંમત શોધો.

$\int_0^{\pi / 2} \frac{\pi \sin x}{1+\cos ^2 x} d x$ ની કિંમત શોધો.

$\int_{-2}^2 |[x]| \, dx$ ની કિંમત શોધો.

$\int_0^{\infty} \frac{dx}{(x^2+4)(x^2+9)}$ નું મૂલ્ય શોધો.

નિશ્ચિત સંકલનનું મૂલ્ય શોધો: $\int_0^{\pi /2} \cos^2 x \, dx$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module