m, n 0 के लिए,मान लीजिए alpha(m, n)=int_0^2 | vedclass

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Question

(B) दिया गया है कि $\alpha(m, n) = \int_0^2 t^m(1+3t)^n dt$ है।हमें $11\alpha(10, 6) + 18\alpha(11, 5)$ का मान ज्ञात करना है।समाकलन $I = \int_0^2 t^{1

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$32$

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(B) दिया गया है कि $\alpha(m, n) = \int_0^2 t^m(1+3t)^n dt$ है।हमें $11\alpha(10, 6) + 18\alpha(11, 5)$ का मान ज्ञात करना है।समाकलन $I = \int_0^2 t^{10}(1+3t)^6 dt$ पर विचार करें।खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = (1+3t)^6$ और $dv = t^{10} dt$ लें।तब $du = 6(1+3t)^5 \cdot 3 dt = 18(1+3t)^5 dt$ और $v = \frac{t^{11}}{11}$ प्राप्त होता है।अतः,$\alpha(10, 6) = \left[ \frac{t^{11}}{11}(1+3t)^6 \right]_0^2 - \int_0^2 \frac{t^{11}}{11} \cdot 18(1+3t)^5 dt$ है।दोनों पक्षों को $11$ से गुणा करने पर:$11\alpha(10, 6) = \left[ t^{11}(1+3t)^6 \right]_0^2 - 18 \int_0^2 t^{11}(1+3t)^5 dt$ है।$11\alpha(10, 6) = 2^{11}(1+3(2))^6 - 0 - 18\alpha(11, 5)$ है।$11\alpha(10, 6) + 18\alpha(11, 5) = 2^{11}(7)^6$ है।$11\alpha(10, 6) + 18\alpha(11, 5) = 2^5 \cdot 2^6 \cdot 7^6 = 32 \cdot (2 \cdot 7)^6 = 32(14)^6$ है।इसकी तुलना $p(14)^6$ से करने पर,हमें $p = 32$ प्राप्त होता है।

$m, n > 0$ के लिए,मान लीजिए $\alpha(m, n)=\int_0^2 t^m(1+3 t)^n d t$ है। यदि $11 \alpha(10,6)+18 \alpha(11,5)= p (14)^6$ है,तो $p$ का मान $......$ है।

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