lim _{x rightarrow 0} frac{e^{tan x}-e^x}{tan | vedclass

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Question

(A) हमें सीमा $L = \lim _{x ightarrow 0} \frac{e^{	an x}-e^x}{	an x-x}$ दी गई है।चूँकि यह $\frac{0}{0}$ का रूप है,हम टेलर श्रेणी $e^u = 1 + u + \f

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$1$

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(A) हमें सीमा $L = \lim _{x ightarrow 0} \frac{e^{	an x}-e^x}{	an x-x}$ दी गई है।चूँकि यह $\frac{0}{0}$ का रूप है,हम टेलर श्रेणी $e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2} + \dots$ का उपयोग कर सकते हैं।$e^{	an x} = 1 + 	an x + \frac{	an^2 x}{2} + \dots$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \dots$अंश में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:$e^{	an x} - e^x = (	an x - x) + \frac{1}{2}(	an^2 x - x^2) + \dots$अब,सीमा $\lim _{x ightarrow 0} \frac{(	an x - x) + \frac{1}{2}(	an^2 x - x^2)}{	an x - x} = \lim _{x ightarrow 0} [1 + \frac{1}{2} \frac{	an^2 x - x^2}{	an x - x}]$ हो जाती है।$	an x \approx x + \frac{x^3}{3}$ का उपयोग करते हुए,हमें मिलता है $	an^2 x - x^2 \approx (x + \frac{x^3}{3})^2 - x^2 \approx x^2 + \frac{2x^4}{3} - x^2 = \frac{2x^4}{3}$।साथ ही,$	an x - x \approx \frac{x^3}{3}$।अतः,$\frac{	an^2 x - x^2}{	an x - x} \approx \frac{2x^4/3}{x^3/3} = 2x$।जैसे ही $x ightarrow 0$,यह पद $0$ की ओर अग्रसर होता है।इसलिए,सीमा $1 + 0 = 1$ है।

$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{\tan x}-e^x}{\tan x-x} = $

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$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1 } \frac{{\left( {\log \left( {1 + x} \right) - \log 2} \right)\left( {3 \cdot 4^{x - 1} - 3x} \right)}}{{\left( {{{\left( {7 + x} \right)}^{1/3}} - {{\left( {1 + 3x} \right)}^{1/2}}} \right)\sin \pi x}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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