frac{1}{2}x^2 + frac{2}{3}x^3 + frac{3}{4}x^4 | vedclass

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Question

(D) माना $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n+1} x^{n+1}$.हम $\frac{n}{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1}$ लिख सकते हैं।अतः,$S = \sum_{n=1}^{\infty} (1 - \frac{1

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{x}{1 - x} + \log_e(1 - x)$

Vedclass · Answer

(D) माना $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n+1} x^{n+1}$.हम $\frac{n}{n+1} = 1 - \frac{1}{n+1}$ लिख सकते हैं।अतः,$S = \sum_{n=1}^{\infty} (1 - \frac{1}{n+1}) x^{n+1} = \sum_{n=1}^{\infty} x^{n+1} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n+1}$.$S = (x^2 + x^3 + x^4 + \dots) - (\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{4} + \dots)$.पहला भाग एक गुणोत्तर श्रेणी है: $\frac{x^2}{1-x}$.दूसरा भाग $-\log_e(1-x) - x$ का विस्तार है।इसलिए,$S = \frac{x^2}{1-x} - (-\log_e(1-x) - x) = \frac{x^2}{1-x} + x + \log_e(1-x)$.$S = \frac{x^2 + x(1-x)}{1-x} + \log_e(1-x) = \frac{x}{1-x} + \log_e(1-x)$.

$\frac{1}{2}x^2 + \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{4}x^4 + \dots \infty = $

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विस्तार $\log_e(1 + x) = \sum\limits_{i = 1}^\infty \left[ \frac{(-1)^{i + 1}x^i}{i} \right]$ किसके लिए परिभाषित है:

$\frac{m - n}{m + n} + \frac{1}{3}\left( \frac{m - n}{m + n} \right)^3 + \frac{1}{5}\left( \frac{m - n}{m + n} \right)^5 + \dots \infty = $

$\frac{1}{1 \cdot 2} - \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} - \frac{1}{4 \cdot 5} + \dots \infty = $

यदि $\tanh ^{-1} x = a \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$, $|x| < 1$ है, तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।

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