एक सदिश vec{n},X-अक्ष के साथ 45^{circ},Y-अक्ष | vedclass

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Question

(A) माना $\vec{n}$,$X, Y, Z$ अक्षों के साथ क्रमशः $\alpha, \beta, \gamma$ कोण बनाता है। दिया गया है $\alpha = 45^{\circ}, \beta = 60^{\circ}$। हम जानत

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$\sqrt{2}x + y + z = 0$

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(A) माना $\vec{n}$,$X, Y, Z$ अक्षों के साथ क्रमशः $\alpha, \beta, \gamma$ कोण बनाता है। दिया गया है $\alpha = 45^{\circ}, \beta = 60^{\circ}$। हम जानते हैं कि $\cos^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$। मान रखने पर: $\cos^2(45^{\circ}) + \cos^2(60^{\circ}) + \cos^2 \gamma = 1$। $\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \cos^2 \gamma = 1$। $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cos^2 \gamma = 1$। $\frac{3}{4} + \cos^2 \gamma = 1 \implies \cos^2 \gamma = \frac{1}{4}$। चूंकि $\gamma$ एक न्यून कोण है,$\cos \gamma = \frac{1}{2}$,अतः $\gamma = 60^{\circ}$। अभिलंब सदिश $\vec{n} = \cos \alpha \hat{i} + \cos \beta \hat{j} + \cos \gamma \hat{k} = \frac{1}{\sqrt{2}} \hat{i} + \frac{1}{2} \hat{j} + \frac{1}{2} \hat{k}$ है। अभिलंब सदिश को सरल बनाने के लिए $2$ से गुणा करने पर,$\vec{n}' = \sqrt{2} \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ प्राप्त होता है। बिंदु $(x_0, y_0, z_0) = (-\sqrt{2}, 1, 1)$ से गुजरने वाले और $\vec{n}'$ अभिलंब वाले समतल का समीकरण $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$ है। $\sqrt{2}(x - (-\sqrt{2})) + 1(y - 1) + 1(z - 1) = 0$। $\sqrt{2}(x + \sqrt{2}) + y - 1 + z - 1 = 0$। $\sqrt{2}x + 2 + y + z - 2 = 0$। $\sqrt{2}x + y + z = 0$।

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एक समतल का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए,जो मूल बिंदु से $8$ इकाई की दूरी पर है और सदिश $\vec{n} = 2\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ के लंबवत है।

$(1, 0, 0)$ और $(0, 1, 0)$ से गुजरने वाले उस समतल के अभिलंब के दिक्-अनुपात ज्ञात कीजिए जो समतल $x + y = 3$ के साथ $\frac{\pi}{4}$ का कोण बनाता है।

तीन समतलों $P_{1}: 3x + 15y + 21z = 9$; $P_{2}: x - 3y - z = 5$; और $P_{3}: 2x + 10y + 14z = 5$ पर विचार करें। तो,निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

यदि समतल $3x - 2y + 2z + 17 = 0$ और $4x + 3y - kz = 25$ परस्पर लंबवत हैं,तो $k = $

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