$3 \times 10^{-6} \,m^{2}$ જેટલા આડછેદનું ક્ષેત્રફળ ધરાવતો એક ધાતુનો સળિયો એક છેડેથી શિરોલંબ લટકાવેલ છે અને $100^{\circ} C$ તાપમાને તેની લંબાઈ $0.4 \,m$ છે. હવે આ સળિયાને $0^{\circ} C$ સુધી ઠંડો કરવામાં આવે છે, પરંતુ તેના નીચેના છેડે ' $m$ ' દળ લટકાવીને તેને સંકોચાતો અટકાવવામાં આવે છે. ' $m$ ' નું મૂલ્ય શોધો. (આપેલ છે: $Y = 10^{11} \,N/m^{2}$, રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha = 10^{-5} /K$, $g = 10 \,m/s^{2}$) ($\,kg$ માં)

પ્રકૃતિમાં,માળખાકીય સભ્યોની નિષ્ફળતા સામાન્ય રીતે તણાવ અથવા સંકોચન વિકૃતિને બદલે વળવા અથવા વાળવાને કારણે મોટા ટોર્કને પરિણામે થાય છે. માળખાકીય ભંગાણની આ પ્રક્રિયાને બકલિંગ કહેવામાં આવે છે. વૃક્ષો જેવી ઊંચી નળાકાર રચનાઓના કિસ્સામાં,ટોર્ક તેના પોતાના વજનને કારણે રચનાને વાળવાથી થાય છે,જેથી ગુરુત્વાકર્ષણના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી ઊભી રેખા આધારની અંદર પડતી નથી. વૃક્ષની મધ્ય અક્ષની આસપાસ આ વાળવાને કારણે ઉદ્ભવતો સ્થિતિસ્થાપક ટોર્ક $\frac{Y\pi r^4}{4R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે,$r$ એ થડની ત્રિજ્યા છે અને $R$ એ ગુરુત્વાકર્ષણના કેન્દ્રને સમાવતી વૃક્ષની ઊંચાઈ સાથે વળેલ સપાટીની વક્રતા ત્રિજ્યા છે. થડની આપેલી ત્રિજ્યા માટે વૃક્ષની નિર્ણાયક ઊંચાઈનો અંદાજ લગાવો.

જો આપેલ આલેખ $1 \,m$ લંબાઈ અને $1 \,mm^2$ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ ધરાવતા તાર પર લટકાવેલ ભાર $(W)$ અને તેમાં ઉદ્ભવતું વિસ્તરણ $(\Delta l)$ દર્શાવે છે, તો તારના દ્રવ્યનો યંગ મોડ્યુલસ કેટલો હશે?

$2\,m$ લંબાઈ અને $2.0\,cm^2$ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ ધરાવતા પિત્તળના સળિયાને $L$ લંબાઈ અને $1.0\,cm^2$ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ ધરાવતા સ્ટીલના સળિયા સાથે છેડેથી જોડવામાં આવે છે. સંયુક્ત સળિયાના છેડાઓ પર $5 \times 10^4\,N$ મૂલ્યના સમાન અને વિરુદ્ધ ખેંચાણ બળો લગાડવામાં આવે છે. જો બંને સળિયાઓની લંબાઈમાં થતો વધારો સમાન હોય,તો સ્ટીલના સળિયાની લંબાઈ $(L)$ ........... $m$ છે $(Y_{Brass}=1.0\times 10^{11}\,N/m^2$ અને $Y_{Steel} = 2.0 \times 10^{11}\,N/m^2)$.

$Y$ યંગ મોડ્યુલસ અને $\alpha$ રેખીય પ્રસરણાંક ધરાવતા ધાતુના સળિયાનું તાપમાન $\Delta \theta$ જેટલું વધારવામાં આવે છે. સળિયાનું પ્રસરણ અટકાવવા માટે જરૂરી રેખીય પ્રતિબળ કેટલું હશે?

એક ધાતુનો સળિયો જ્યારે તેમાં ઉત્પન્ન થતી વિકૃતિ $0.2 \%$ હોય ત્યારે તૂટી જાય છે. સળિયાના દ્રવ્યનો યંગ મોડ્યુલસ $7 \times 10^9 \,N/m^2$ છે. $10^4 \,N$ નો ભાર સહન કરવા માટે જરૂરી આડછેદનું ક્ષેત્રફળ કેટલું હશે?