$\frac{d}{d x}\left[\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2\right]=$ . . . . . .

मंगल ग्रह पर रहने वाले लोग,अवकलज की सामान्य परिभाषा $D f(x)$ के बजाय,एक नए प्रकार के अवकलज $D^*f(x)$ को इस सूत्र द्वारा परिभाषित करते हैं: $D^*f(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f^2(x + h) - f^2(x)}{h}$,जहाँ $f^2(x)$ का अर्थ $[f(x)]^2$ है। यदि $f(x) = x \ln x$ है,तो $\left. D^*f(x) \right|_{x = e}$ का मान क्या होगा?

यदि $f(x) = \sin([\pi^{2}]x) + \cos([-\pi^{2}]x)$ है,तो $f'(x)$ ज्ञात कीजिए,जहाँ $[\cdot]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है।

मान लीजिए $f(x)$ एक द्विघात बहुपद है। यदि $f(1) = f(-1)$ और $p, q, r$ समांतर श्रेणी ($A$.$P$.) में हैं, तो $f^{\prime}(p), f^{\prime}(q), f^{\prime}(r)$ हैं

यदि $f''(x) = x^{1/3}$ है,तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य हो सकता है?

$I$. $f'(x) = \frac{3}{4}x^{4/3} + 9$	$II$. $f(x) = \frac{9}{28}x^{7/3} - 2$
$III$. $f(x) = \frac{9}{28}x^{7/3} + 6$	$IV$. $f'(x) = \frac{3}{4}x^{4/3} - 4$

गुणनफल नियम का उपयोग करके $(x^{2}-5x+8)(x^{3}+7x+9)$ का अवकलन कीजिए।