int sqrt{frac{cos x - cos^3 x}{1 - cos^3 x}} | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int \sqrt{\frac{\cos x(1 - \cos^2 x)}{1 - \cos^3 x}} \, dx = \int \sqrt{\frac{\cos x \sin^2 x}{1 - \cos^3 x}} \, dx$. चूँकि $\sin x = \

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$\frac{2}{3} \cos^{-1}(\cos^{3/2} x)$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int \sqrt{\frac{\cos x(1 - \cos^2 x)}{1 - \cos^3 x}} \, dx = \int \sqrt{\frac{\cos x \sin^2 x}{1 - \cos^3 x}} \, dx$. चूँकि $\sin x = \sqrt{1 - \cos^2 x}$,इसलिए $I = \int \sin x \sqrt{\frac{\cos x}{1 - \cos^3 x}} \, dx$. माना $u = \cos^{3/2} x$. तब $du = \frac{3}{2} \cos^{1/2} x (-\sin x) \, dx$,जिसका अर्थ है कि $\sin x \sqrt{\cos x} \, dx = -\frac{2}{3} du$. साथ ही,$u^2 = \cos^3 x$. इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \int \sqrt{\frac{1}{1 - u^2}} \left(-\frac{2}{3} du\right) = -\frac{2}{3} \int \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \, du$. इसका मान $-\frac{2}{3} \sin^{-1}(u) + C$ होता है। चूँकि $\sin^{-1}(u) + \cos^{-1}(u) = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $-\frac{2}{3} (\frac{\pi}{2} - \cos^{-1}(u)) = \frac{2}{3} \cos^{-1}(u) - \frac{\pi}{3}$ प्राप्त होता है। अचर $-\frac{\pi}{3}$ को $C$ में समाहित करने पर,उत्तर $\frac{2}{3} \cos^{-1}(\cos^{3/2} x) + C$ प्राप्त होता है।

$\int \sqrt{\frac{\cos x - \cos^3 x}{1 - \cos^3 x}} \, dx = $ . . . . . . $+ C$.

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