int e^{sqrt{x}} , dx = . . . . . . + c ; x | vedclass

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Question

(A) समाकलन $I = \int e^{\sqrt{x}} \, dx$ को हल करने के लिए,हम प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करते हैं। माना $\sqrt{x} = t$. तब $x = t^2$,जिसका अर्थ है $dx

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$2(\sqrt{x}-1) e^{\sqrt{x}}$

Vedclass · Answer

(A) समाकलन $I = \int e^{\sqrt{x}} \, dx$ को हल करने के लिए,हम प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करते हैं। माना $\sqrt{x} = t$. तब $x = t^2$,जिसका अर्थ है $dx = 2t \, dt$। इन मानों को समाकलन में रखने पर: $I = \int e^t (2t) \, dt = 2 \int t e^t \, dt$। खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,जहाँ $\int u \, dv = uv - \int v \, du$: माना $u = t$ और $dv = e^t \, dt$। तब $du = dt$ और $v = e^t$। $I = 2 [t e^t - \int e^t \, dt] = 2 [t e^t - e^t] + c = 2 e^t (t - 1) + c$। $t = \sqrt{x}$ वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $I = 2 e^{\sqrt{x}} (\sqrt{x} - 1) + c$। अतः,सही विकल्प $A$ है।

$\int e^{\sqrt{x}} \, dx = $ . . . . . . $+ c ; x > 0$

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