$\sum_{n=1}^{20} \left[ \sin \left( \frac{2n\pi}{21} \right) - i \cos \left( \frac{2n\pi}{21} \right) \right] = $

$1+i\sqrt{3}$ के भिन्न $(2n)^{\text{th}}$ मूलों का गुणनफल किसके बराबर है?

माना कि $\alpha, \beta$ समीकरण $x^2-\sqrt{6}x+3=0$ के मूल हैं,इस प्रकार कि $\operatorname{Im}(\alpha)>\operatorname{Im}(\beta)$ है। माना कि $a, b$ ऐसे पूर्णांक हैं जो $3$ से विभाज्य नहीं हैं और $n$ एक प्राकृतिक संख्या है,इस प्रकार कि $\frac{\alpha^{99}}{\beta}+\alpha^{98}=3^n(a+ib)$,जहाँ $i=\sqrt{-1}$ है। तो $n+a+b$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ समीकरण $x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=0$ के मूल हैं,तो $\alpha^{2021}+\beta^{2021}+\gamma^{2021}+\delta^{2021}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\omega$ इकाई का एक सम्मिश्र घनमूल है,तो किसी भी $n>1$ के लिए,$\sum_{r=1}^{n-1} r(r+1-\omega)(r+1-\omega^2) =$

$\left(\frac{1+\cos (3 \theta)+i \sin (3 \theta)}{1+\cos (3 \theta)-i \sin (3 \theta)}\right)^{20} = ?$