यदि alpha, beta, gamma, delta समीकरण x^{4}+x^ | vedclass

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Question

(B) दिया गया समीकरण $x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=0$ है।यह एक गुणोत्तर श्रेणी का योग है,जिसे $x 
eq 1$ के लिए $\frac{x^{5}-1}{x-1} = 0$ के रूप में लिखा जा स

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$-1$

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(B) दिया गया समीकरण $x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=0$ है।यह एक गुणोत्तर श्रेणी का योग है,जिसे $x 
eq 1$ के लिए $\frac{x^{5}-1}{x-1} = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।मूल $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ इकाई के $5$ वें मूल हैं,$1$ को छोड़कर,अर्थात $\omega, \omega^{2}, \omega^{3}, \omega^{4}$ जहाँ $\omega = e^{i \frac{2\pi}{5}}$ है।चूंकि $\omega^{5} = 1$,इसलिए $\omega^{2021} = (\omega^{5})^{404} \cdot \omega = \omega$ होगा।इसी प्रकार,$\beta^{2021} = \omega^{2}$,$\gamma^{2021} = \omega^{3}$,और $\delta^{2021} = \omega^{4}$ होगा।अतः,योग $\alpha^{2021}+\beta^{2021}+\gamma^{2021}+\delta^{2021} = \omega + \omega^{2} + \omega^{3} + \omega^{4}$ है।समीकरण $x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=0$ से,मूलों का योग $\alpha+\beta+\gamma+\delta = -\frac{1}{1} = -1$ प्राप्त होता है।

यदि $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ समीकरण $x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=0$ के मूल हैं,तो $\alpha^{2021}+\beta^{2021}+\gamma^{2021}+\delta^{2021}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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