समीकरण $x^{11}-x^6-x^5+1=0$ के सम्मिश्र मूलों में से एक है

यदि $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_{23}$ इकाई के $23^{rd}$ मूल हैं,तो $\alpha_1^{47} + \alpha_2^{47} + \ldots + \alpha_{23}^{47} = $

$(\sqrt{3}+i)^{10}+(\sqrt{3}-i)^{10}=$

यदि $z = \cos \alpha + i \sin \alpha$; $0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$ है,तो $\left|\frac{1+z^4}{1-z^3}\right| = $

माना $z_k = \cos \left(\frac{2k\pi}{10}\right) + i \sin \left(\frac{2k\pi}{10}\right); k = 1, 2, \ldots, 9$.

सूची-$I$	सूची-$II$
$P.$ प्रत्येक $z_k$ के लिए एक ऐसा $z_j$ मौजूद है कि $z_k \cdot z_j = 1$	$1.$ सत्य
$Q.$ एक ऐसा $k \in \{1, 2, \ldots, 9\}$ मौजूद है कि $z_1 \cdot z = z_k$ का सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय में कोई हल नहीं है।	$2.$ असत्य
$R.$ $\frac{|1-z_1||1-z_2| \ldots |1-z_9|}{10}$ का मान	$3.$ $1$
$S.$ $1 - \sum_{k=1}^9 \cos \left(\frac{2k\pi}{10}\right)$ का मान	$4.$ $2$

कोड: $P \quad Q \quad R \quad S$

यदि $\cos \theta + i \sin \theta, \theta \in R$, समीकरण $a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + \ldots + a_{n-1} x + a_n = 0$ का एक मूल है, जहाँ $a_0, a_1, \ldots, a_n \in R$ और $a_0 \neq 0$, तो $a_1 \sin \theta + a_2 \sin 2 \theta + \ldots + a_n \sin n \theta$ का मान क्या है?