એક વિદ્યાર્થીએ પરીક્ષામાં $13$ માંથી $10$ પ્રશ્નોના જવાબ આપવાના છે. જો તેણે પ્રથમ $5$ પ્રશ્નોમાંથી ઓછામાં ઓછા $3$ પ્રશ્નોના જવાબ આપવા જ પડે,તો તે કેટલી રીતે જવાબ આપી શકે?

$9$ વિદ્યાર્થીઓના જૂથ $s_1, s_2, \ldots, s_9$ ને અનુક્રમે $2, 3$ અને $4$ ના કદની ત્રણ ટીમો $X, Y$ અને $Z$ માં વહેંચવાના છે. ધારો કે $s_1$ ને ટીમ $X$ માટે પસંદ કરી શકાતા નથી,અને $s_2$ ને ટીમ $Y$ માટે પસંદ કરી શકાતા નથી. તો આવી ટીમો બનાવવાની રીતોની સંખ્યા કેટલી છે?

$25$ વિદ્યાર્થીઓના વર્ગમાંથી,$10$ વિદ્યાર્થીઓને પ્રવાસ માટે પસંદ કરવાના છે. $3$ વિદ્યાર્થીઓ એવો નિર્ણય લે છે કે કાં તો તેઓ ત્રણેય જોડાશે અથવા કોઈ જોડાશે નહીં. તો પ્રવાસ માટેની ટુકડી કેટલી રીતે પસંદ કરી શકાય?

એક સંસ્થાની ભાષાકીય ક્લબમાં $6$ છોકરીઓ અને $4$ છોકરાઓ છે. આ જૂથમાંથી $4$ સભ્યોની એક ટીમ પસંદ કરવાની છે,જેમાં ટીમ માટે એક કેપ્ટન (આ $4$ સભ્યોમાંથી) ની પસંદગી પણ સામેલ છે. જો ટીમમાં વધુમાં વધુ એક છોકરો હોય,તો ટીમ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા કેટલી છે?

$20$ છોકરાઓ,$20$ છોકરીઓ અને $20$ શિક્ષકોમાંથી $30$ વ્યક્તિઓની સમિતિ એવી રીતે પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા શોધો કે જેથી સમિતિમાં છોકરાઓ,છોકરીઓ અને શિક્ષકોની સંખ્યા સમાન હોય.

$\binom{15}{8} + \binom{15}{9} - \binom{15}{6} - \binom{15}{7} = \dots$