lim _{n rightarrow infty} frac{2^2+4^2+6^2+ld | vedclass

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Question

(B) दी गई अभिव्यक्ति $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2^2+4^2+6^2+\ldots+(2 n)^2}{n^3}$ है।अंश से $2^2 = 4$ को बाहर निकालने पर:$= \lim _{n \rightar

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$\frac{4}{3}$

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(B) दी गई अभिव्यक्ति $\lim _{n ightarrow \infty} \frac{2^2+4^2+6^2+\ldots+(2 n)^2}{n^3}$ है।अंश से $2^2 = 4$ को बाहर निकालने पर:$= \lim _{n ightarrow \infty} \frac{4(1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2)}{n^3}$.प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों के योग का सूत्र $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ का उपयोग करने पर:$= 4 \lim _{n ightarrow \infty} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}$.$= \frac{4}{6} \lim _{n ightarrow \infty} \frac{n \cdot n(1+\frac{1}{n}) \cdot n(2+\frac{1}{n})}{n^3}$.$= \frac{2}{3} \lim _{n ightarrow \infty} (1+\frac{1}{n})(2+\frac{1}{n})$.जैसे $n ightarrow \infty$,वैसे $\frac{1}{n} ightarrow 0$,इसलिए सीमा $\frac{2}{3} 	imes (1)(2) = \frac{4}{3}$ है।अतः,सही विकल्प $B$ है।

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{2^2+4^2+6^2+\ldots+(2 n)^2}{n^3} = $

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