frac{1}{1 cdot 3} + frac{1}{2 cdot 5} + frac{ | vedclass

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Question

(B) माना $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(2n+1)}$.आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{n(2n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{2}{2n+1}$.अतः,$S = \sum_

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$2 - \log_e 2$

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(B) माना $S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(2n+1)}$.आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{n(2n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{2}{2n+1}$.अतः,$S = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n} - \frac{2}{2n+1} \right) = \left( 1 - \frac{2}{3} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{2}{5} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{2}{7} \right) + \dots$$S = 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + \dots$$\log_e(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots$ श्रेणी का उपयोग करते हुए,$x=1$ के लिए $\log_e 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \dots$.अतः,$S = 1 - (\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - \dots) = 1 - (1 - \log_e 2) = 2 - \log_e 2$.

$\frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{2 \cdot 5} + \frac{1}{3 \cdot 7} + \frac{1}{4 \cdot 9} + \dots$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$1 + \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \right) \frac{1}{4} + \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{5} \right) \frac{1}{4^2} + \left( \frac{1}{6} + \frac{1}{7} \right) \frac{1}{4^3} + \dots \infty = $

यदि $\tanh ^{-1} x = a \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$, $|x| < 1$ है, तो $a$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\frac{x - 1}{x + 1} + \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2 - 1}{(x + 1)^2} + \frac{1}{3} \cdot \frac{x^3 - 1}{(x + 1)^3} + \dots \infty = $

यदि $y = - \left( {{x^3} + \frac{{{x^6}}}{2} + \frac{{{x^9}}}{3} + \dots} \right)$ है,तो $x = $

श्रेणी $\frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{4 \times 5} + \frac{1}{6 \times 7} + \dots = $ का योग ज्ञात कीजिए।

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