एक रेखा $L$ के निर्देशांक अक्षों पर अंतःखंड $a$ और $b$ हैं। जब अक्षों को मूलबिंदु को स्थिर रखते हुए एक दिए गए कोण $\theta$ से घुमाया जाता है,तो इस रेखा $L$ के अंतःखंड $p$ और $q$ हो जाते हैं। तब

जब अक्षों को $45^{\circ}$ के कोण पर घुमाया जाता है,तो एक बिंदु $P$ के नए निर्देशांक $(1, -1)$ हैं। मूल प्रणाली में $P$ के निर्देशांक क्या हैं?

मूलबिंदु को $(1,2)$ पर स्थानांतरित किया जाता है। पुरानी प्रणाली में बिंदु $(7,5)$ क्रमिक रूप से निम्नलिखित परिवर्तनों से गुजरता है।
$I$. मूलबिंदु के दिए गए स्थानांतरण के तहत नए बिंदु पर जाता है।
$II$. नई $X$-अक्ष की ऋणात्मक दिशा में $2$ इकाई स्थानांतरित होता है।
$III$. नई प्रणाली के मूलबिंदु के चारों ओर दक्षिणावर्त दिशा में $\frac{\pi}{4}$ कोण पर घुमाया जाता है। बिंदु $(7,5)$ की अंतिम स्थिति क्या है?

यदि अक्षों के स्थानांतरण द्वारा मूलबिंदु को $(3, 2)$ बिंदु पर स्थानांतरित करने के बाद बिंदु $(2, 3)$ के नए निर्देशांक $(a, b)$ हैं,और अक्षों को मूलबिंदु के चारों ओर वामावर्त दिशा में $\frac{\pi}{4}$ कोण पर घुमाने के बाद बिंदु $(a, b)$ के नए निर्देशांक $(c, d)$ हैं,तो $d-c$ का मान ज्ञात कीजिए।

निर्देशाक्षों की दिशा बदले बिना मूल बिंदु को किस बिंदु पर स्थानांतरित किया जाना चाहिए ताकि समीकरण $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 7 = 0$ एक ऐसे समीकरण में परिवर्तित हो जाए जिसमें कोई प्रथम-घात पद न हो?

यदि वक्रों $y=x^2$ और $x=y^2$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $k$ है,तो वक्रों $\frac{x+\sqrt{3} y}{2}=\left(\frac{\sqrt{3} x-y}{2}\right)^2$ और $\frac{\sqrt{3} x-y}{2}=\left(\frac{x+\sqrt{3} y}{2}\right)^2$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या होगा?