$2x - 3y + 1 = 0$ અને $4x - 5y - 1 = 0$ એ વર્તુળ $S \equiv x^2 + y^2 + 2gx + 2fy - 11 = 0$ ના બે વ્યાસના સમીકરણો છે. $Q$ અને $R$ એ બિંદુ $P(-2, -2)$ માંથી આ વર્તુળ પર દોરેલા સ્પર્શકોના સ્પર્શબિંદુઓ છે. જો $C$ એ વર્તુળ $S = 0$ નું કેન્દ્ર હોય,તો ચતુષ્કોણ $PQCR$ નું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) કેટલું થાય?

ધારો કે $P$ એ પરવલય $y^2=4x$ પરનું બિંદુ છે જે વર્તુળ $x^2+y^2-4x-16y+64=0$ ના કેન્દ્ર $S$ થી સૌથી ટૂંકા અંતરે છે. ધારો કે $Q$ એ વર્તુળ પરનું બિંદુ છે જે રેખાખંડ $SP$ નું આંતરિક વિભાજન કરે છે. તો
$(A)$ $SP=2\sqrt{5}$
$(B)$ $SQ:QP=(\sqrt{5}+1):2$
$(C)$ $P$ આગળ પરવલયના અભિલંબનો $x$-અંતઃખંડ $6$ છે
$(D)$ $Q$ આગળ વર્તુળના સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{1}{2}$ છે

જો બિંદુ $(h, k)$ માંથી વર્તુળ $x^2+y^2=16$ પર દોરેલા સ્પર્શકની લંબાઈ,તે જ બિંદુમાંથી વર્તુળ $x^2+y^2+2x+2y=0$ પર દોરેલા સ્પર્શકની લંબાઈ કરતાં બમણી હોય,તો:

ધારો કે $O(0,0)$ ઉગમબિંદુ છે અને રેખા $L = x + y - \lambda = 0$ એ વક્ર $x^2 + y^2 - 2x - 4y + 2 = 0$ ને $A$ અને $B$ માં મળે છે. જો $\angle AOB = 90^{\circ}$ હોય,તો આવી રેખાઓ $L = 0$ વચ્ચેનું અંતર કેટલું થાય?

$a$ ના મૂલ્યોનો વિસ્તાર શોધો જેથી બિંદુ $(a, 0)$ માંથી વર્તુળ $x^2 + y^2 = 1$ પર દોરેલા સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\frac{\pi}{2} < \theta < \pi$ શરતનું પાલન કરે છે:

જો $\theta$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 = 5$ અને પરવલય $y^2 = 4x$ ના વાસ્તવિક છેદબિંદુ પરનો લઘુકોણ હોય,તો $\tan \theta$ ની કિંમત શોધો.