एक वृत्त S तीन वृत्तों x^2+y^2-4x-2y+4=0,x^2+ | vedclass

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Question

(A) माना वृत्त $S$ का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है। चूँकि $S$ दिए गए वृत्तों को लंबकोणीय काटता है,हम शर्त $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ का उपयोग

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$\sqrt{\frac{29}{8}}$

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(A) माना वृत्त $S$ का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है। चूँकि $S$ दिए गए वृत्तों को लंबकोणीय काटता है,हम शर्त $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1 + c_2$ का उपयोग करते हैं। $x^2+y^2-4x-2y+4=0$ के लिए: $2g(-2) + 2f(-1) = c+4 \Rightarrow -4g-2f = c+4$ $(i)$. $x^2+y^2-2x-4y+1=0$ के लिए: $2g(-1) + 2f(-2) = c+1 \Rightarrow -2g-4f = c+1$ $(ii)$. $x^2+y^2+4x+2y+1=0$ के लिए: $2g(2) + 2f(1) = c+1 \Rightarrow 4g+2f = c+1$ $(iii)$. $(i)$ और $(iii)$ को जोड़ने पर,$0 = 2c+5$,अतः $c = -\frac{5}{2}$. $c$ का मान $(iii)$ में रखने पर: $4g+2f = -\frac{5}{2}+1 = -\frac{3}{2} \Rightarrow 8g+4f = -3$ $(iv)$. $c$ का मान $(ii)$ में रखने पर: $-2g-4f = -\frac{5}{2}+1 = -\frac{3}{2} \Rightarrow 4g+8f = 3$ $(v)$. $(iv)$ और $(v)$ को जोड़ने पर: $12g+12f = 0 \Rightarrow g = -f$. $g = -f$ को $(iv)$ में रखने पर: $-8f+4f = -3$ $\Rightarrow -4f = -3$ $\Rightarrow f = \frac{3}{4}, g = -\frac{3}{4}$. त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{(-\frac{3}{4})^2 + (\frac{3}{4})^2 - (-\frac{5}{2})} = \sqrt{\frac{9}{16} + \frac{9}{16} + \frac{40}{16}} = \sqrt{\frac{58}{16}} = \sqrt{\frac{29}{8}}$.

एक वृत्त $S$ तीन वृत्तों $x^2+y^2-4x-2y+4=0$,$x^2+y^2-2x-4y+1=0$,और $x^2+y^2+4x+2y+1=0$ को लंबकोणीय (orthogonally) काटता है। तब,$S$ की त्रिज्या है

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