sum_{k=1}^{infty} sum_{r=0}^k frac{1}{3^k} bi | vedclass

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Question

(D) हम जानते हैं कि द्विपद गुणांकों का योग $\sum_{r=0}^k \binom{k}{r} = 2^k$ होता है। इस मान को दिए गए व्यंजक में रखने पर: $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{

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$2$

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(D) हम जानते हैं कि द्विपद गुणांकों का योग $\sum_{r=0}^k \binom{k}{r} = 2^k$ होता है। इस मान को दिए गए व्यंजक में रखने पर: $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{3^k} \sum_{r=0}^k \binom{k}{r} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{3^k} (2^k)$ $= \sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^k$ यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = 2/3$ और सार्व अनुपात $r = 2/3$ है। अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r}$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है। $S = \frac{2/3}{1 - 2/3} = \frac{2/3}{1/3} = 2$.

$\sum_{k=1}^{\infty} \sum_{r=0}^k \frac{1}{3^k} \binom{k}{r}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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