श्रेणी $2 + 7 + 14 + 23 + 34 + \dots$ का $99^{th}$ पद है

मान लीजिए $a_{1}=b_{1}=1$,$a_{n}=a_{n-1}+2$,और $b_{n}=a_{n}+b_{n-1}$ प्रत्येक प्राकृतिक संख्या $n \geq 2$ के लिए है। तो $\sum_{n=1}^{15} a_{n} \cdot b_{n}$ का मान $.........$ है।

अनुक्रम $1, 3, 6, 10, 15, 21, \dots, 5050$ में पदों की संख्या कितनी है?

प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का माध्य क्या है?

मान लीजिए $S$ एक अनंत योग है जो $S = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{10^{2n}}$ द्वारा दिया गया है,जहाँ $(a_n)_{n \geq 0}$ एक अनुक्रम है जिसे $a_0 = 1, a_1 = 1$ और $j \geq 2$ के लिए $a_j = 20a_{j-1} - 108a_{j-2}$ द्वारा परिभाषित किया गया है। यदि $S$ को $\frac{a}{b}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जहाँ $a$ और $b$ सह-अभाज्य धनात्मक पूर्णांक हैं,तो $a$ का मान क्या है:

${1^2} + {3^2} + {5^2} + \dots + {25^2}$ का मान ज्ञात कीजिए।