प्रथम n प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का माध्य | vedclass

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Question

(C) प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याएँ $1, 2, 3, \ldots, n$ हैं। उनके वर्ग $1^2, 2^2, 3^2, \ldots, n^2$ हैं। $	ext{माध्य} = \frac{	ext{प्रेक्षणों का योग}}

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{2n^2+3n+1}{6}$

Vedclass · Answer

(C) प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याएँ $1, 2, 3, \ldots, n$ हैं। उनके वर्ग $1^2, 2^2, 3^2, \ldots, n^2$ हैं। $	ext{माध्य} = \frac{	ext{प्रेक्षणों का योग}}{	ext{प्रेक्षणों की कुल संख्या}}$. $	ext{माध्य} = \frac{1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2}{n}$. सूत्र $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ का उपयोग करने पर: $	ext{माध्य} = \frac{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}{n} = \frac{(n+1)(2n+1)}{6}$. अंश का विस्तार करने पर: $\frac{2n^2+n+2n+1}{6} = \frac{2n^2+3n+1}{6}$.

प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का माध्य क्या है?

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मान लीजिए $S_{k} = \frac{1+2+\ldots+k}{k}$ और $\sum_{j=1}^n S_j^2 = \frac{n}{A}(Bn^2 + Cn + D)$,जहाँ $A, B, C, D \in \mathbb{N}$ और $A$ का मान न्यूनतम है। तो:

श्रेणी के प्रथम $n$ पदों का योग ज्ञात कीजिए: $3+7+13+21+31+\ldots$

निम्नलिखित श्रेणी $(1 \times 3) + (3 \times 5) + (5 \times 7) + (7 \times 9) + \dots$ का $n^{th}$ पद क्या होगा?

यदि किसी श्रेणी के प्रथम $n$ पदों का योग $5n^2 + 2n$ है,तो उसका दूसरा पद क्या होगा?

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