मान लीजिए S_{k} = frac{1+2+ldots+k}{k} और sum | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $S_{k} = \frac{k(k+1)}{2k} = \frac{k+1}{2}$.अतः $S_{j}^2 = \frac{(j+1)^2}{4} = \frac{j^2 + 2j + 1}{4}$.$j=1$ से $n$ तक योग करने पर:$\s

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$A + B$,$D$ से विभाज्य है

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(A) दिया गया है $S_{k} = \frac{k(k+1)}{2k} = \frac{k+1}{2}$.अतः $S_{j}^2 = \frac{(j+1)^2}{4} = \frac{j^2 + 2j + 1}{4}$.$j=1$ से $n$ तक योग करने पर:$\sum_{j=1}^n S_j^2 = \frac{1}{4} \left[ \sum_{j=1}^n j^2 + 2 \sum_{j=1}^n j + \sum_{j=1}^n 1 \right]$$= \frac{1}{4} \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2 \frac{n(n+1)}{2} + n \right]$$= \frac{n}{4} \left[ \frac{(n+1)(2n+1)}{6} + (n+1) + 1 \right]$$= \frac{n}{24} \left[ (2n^2 + 3n + 1) + 6n + 6 + 6 \right]$$= \frac{n}{24} [2n^2 + 9n + 13]$.$\frac{n}{A}(Bn^2 + Cn + D)$ के साथ तुलना करने पर,$A=24, B=2, C=9, D=13$ प्राप्त होता है।विकल्पों की जाँच करने पर:$A+B = 26$,$D=13$,$26$,$13$ से विभाज्य है।अतः विकल्प $A$ सही है।

मान लीजिए $S_{k} = \frac{1+2+\ldots+k}{k}$ और $\sum_{j=1}^n S_j^2 = \frac{n}{A}(Bn^2 + Cn + D)$,जहाँ $A, B, C, D \in \mathbb{N}$ और $A$ का मान न्यूनतम है। तो:

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यदि $1^4+2^4+3^4+\ldots+n^4=f(n) \left(1^2+2^2+\ldots+n^2\right)$,सभी $n \in N$ के लिए,तो $f(4)$ का मान ज्ञात कीजिए।

श्रेणी $1^3 - 2^3 + 3^3 - 4^3 + 5^3 - 6^3 + 7^3 - 8^3 + 9^3$ का योग क्या है?

$\sum_{k=1}^n k(k+1)(k+2) \ldots(k+r-1) =$

श्रेणी $5+11+19+29+41 + \ldots$ के $n$ पदों का योग ज्ञात कीजिए।

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