निम्नलिखित श्रेणी (1 times 3) + (3 times 5) + | vedclass

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Question

(C) दी गई श्रेणी $(1 	imes 3) + (3 	imes 5) + (5 	imes 7) + (7 	imes 9) + \dots$ है।प्रत्येक पद के प्रथम गुणनखंडों को देखें: $1, 3, 5, 7, \dots$यह

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$(2n - 1)(2n + 1)$

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(C) दी गई श्रेणी $(1 	imes 3) + (3 	imes 5) + (5 	imes 7) + (7 	imes 9) + \dots$ है।प्रत्येक पद के प्रथम गुणनखंडों को देखें: $1, 3, 5, 7, \dots$यह एक समांतर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अंतर $d = 2$ है।इस श्रेणी का $n^{th}$ पद $a_n = a + (n - 1)d = 1 + (n - 1)2 = 2n - 1$ है।प्रत्येक पद के दूसरे गुणनखंडों को देखें: $3, 5, 7, 9, \dots$यह एक समांतर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a = 3$ और सार्व अंतर $d = 2$ है।इस श्रेणी का $n^{th}$ पद $b_n = 3 + (n - 1)2 = 2n + 1$ है।अतः,श्रेणी का $n^{th}$ पद इन दो श्रेणियों के $n^{th}$ पदों का गुणनफल है:$T_n = (2n - 1)(2n + 1)$.

निम्नलिखित श्रेणी $(1 \times 3) + (3 \times 5) + (5 \times 7) + (7 \times 9) + \dots$ का $n^{th}$ पद क्या होगा?

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$2.5 + 5.9 + 8.13 + 11.17 + \ldots$ $10$ पदों तक $=$

$\sum_{k=1}^{\infty} \sum_{r=0}^k \frac{1}{3^k} \binom{k}{r}$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\sum_{k=1}^{\infty} \sum_{r=0}^k \frac{1}{3^k} \binom{k}{r}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $0 < \theta, \phi < \frac{\pi}{2}$,$x = \sum_{n=0}^{\infty} \cos^{2n} \theta$,$y = \sum_{n=0}^{\infty} \sin^{2n} \phi$,और $z = \sum_{n=0}^{\infty} \cos^{2n} \theta \cdot \sin^{2n} \phi$ है,तो:

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