उस श्रेणी के n पदों का योग क्या होगा जिसका n^ | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि $n^{th}$ पद $T_n = n(n + 1) = n^2 + n$ है।$n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = \sum_{k=1}^{n} (k^2 + k)$ है।मानक योग सूत्रों

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$\frac{n(n + 1)(n + 2)}{3}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है कि $n^{th}$ पद $T_n = n(n + 1) = n^2 + n$ है।$n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^{n} T_k = \sum_{k=1}^{n} (k^2 + k)$ है।मानक योग सूत्रों $\sum k^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$ और $\sum k = \frac{n(n + 1)}{2}$ का उपयोग करने पर:$S_n = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} + \frac{n(n + 1)}{2}$$S_n = \frac{n(n + 1)}{2} \left( \frac{2n + 1}{3} + 1 \right)$$S_n = \frac{n(n + 1)}{2} \left( \frac{2n + 1 + 3}{3} \right) = \frac{n(n + 1)(2n + 4)}{6}$$S_n = \frac{n(n + 1) \cdot 2(n + 2)}{6} = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{3}$.

उस श्रेणी के $n$ पदों का योग क्या होगा जिसका $n^{th}$ पद $n(n + 1)$ है?

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श्रेणी $1 + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + \dots$ के $n$ पदों का योग क्या होगा?

निम्नलिखित श्रेणी का $n$ पदों तक योग ज्ञात कीजिए:
$0.6 + 0.66 + 0.666 + \dots$

उन सभी धनात्मक पूर्णांकों $n$ का योग ज्ञात कीजिए जिनके लिए $\frac{1^3+2^3+\ldots+(2n)^3}{1^2+2^2+\ldots+n^2}$ भी एक पूर्णांक है।

अनुक्रम $7, 77, 777, 7777, \ldots$ के $n$ पदों का योग ज्ञात कीजिए।

श्रेणी $1 + 3 + 7 + 15 + 31 + \dots$ के $n$ पदों का योग ज्ञात कीजिए।

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