श्रेणी 1 + 3 + 7 + 15 + 31 + dots के n पदों क | vedclass

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Question

(B) माना $n$-वाँ पद $t_n$ है। श्रेणी $1, 3, 7, 15, 31, \dots$ है।पदों को $(2^1 - 1), (2^2 - 1), (2^3 - 1), (2^4 - 1), (2^5 - 1), \dots$ के रूप में लिख

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$2^{n+1} - n - 2$

Vedclass · Answer

(B) माना $n$-वाँ पद $t_n$ है। श्रेणी $1, 3, 7, 15, 31, \dots$ है।पदों को $(2^1 - 1), (2^2 - 1), (2^3 - 1), (2^4 - 1), (2^5 - 1), \dots$ के रूप में लिखा जा सकता है।अतः,$n$-वाँ पद $t_n = 2^n - 1$ है।$n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^{n} t_k = \sum_{k=1}^{n} (2^k - 1)$.$S_n = \sum_{k=1}^{n} 2^k - \sum_{k=1}^{n} 1$.पहला भाग एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें प्रथम पद $a = 2$ और सार्व अनुपात $r = 2$ है।गुणोत्तर श्रेणी के $n$ पदों का योग $= \frac{a(r^n - 1)}{r - 1} = \frac{2(2^n - 1)}{2 - 1} = 2(2^n - 1) = 2^{n+1} - 2$.इसलिए,$S_n = (2^{n+1} - 2) - n = 2^{n+1} - n - 2$.

श्रेणी $1 + 3 + 7 + 15 + 31 + \dots$ के $n$ पदों का योग ज्ञात कीजिए।

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