frac{1}{4}-frac{5}{4 cdot 8}+frac{5 cdot 7}{4 | vedclass

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Question

(C) माना $S = \frac{1}{4} - \frac{5}{4 \cdot 8} + \frac{5 \cdot 7}{4 \cdot 8 \cdot 12} - \ldots$ $3$ से गुणा और भाग करने पर: $S = \frac{1}{3} \left( \

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$\frac{3 \sqrt{3}-2 \sqrt{2}}{9 \sqrt{3}}$

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(C) माना $S = \frac{1}{4} - \frac{5}{4 \cdot 8} + \frac{5 \cdot 7}{4 \cdot 8 \cdot 12} - \ldots$ $3$ से गुणा और भाग करने पर: $S = \frac{1}{3} \left( \frac{3}{4} - \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 8} + \frac{3 \cdot 5 \cdot 7}{4 \cdot 8 \cdot 12} - \ldots \right)$ हम जानते हैं कि द्विपद विस्तार $(1+x)^{-n} = 1 - nx + \frac{n(n+1)}{2!}x^2 - \frac{n(n+1)(n+2)}{3!}x^3 + \ldots$ होता है। कोष्ठक के अंदर की श्रेणी की तुलना विस्तार से करने पर,हम $n = \frac{3}{2}$ और $x = \frac{1}{2}$ रखते हैं। श्रेणी $1 - \frac{3}{2}(\frac{1}{2}) + \frac{\frac{3}{2} \cdot \frac{5}{2}}{2!}(\frac{1}{2})^2 - \ldots$ का मान $(1 + \frac{1}{2})^{-3/2}$ के बराबर है। चूँकि हमारी श्रेणी दूसरे पद से शुरू होती है: $\frac{3}{4} - \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 8} + \ldots = 1 - (1 + \frac{1}{2})^{-3/2} = 1 - (\frac{3}{2})^{-3/2} = 1 - (\frac{2}{3})^{3/2} = 1 - \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3} - 2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}$. इस मान को $S$ के समीकरण में रखने पर: $S = \frac{1}{3} \left( \frac{3\sqrt{3} - 2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}} \right) = \frac{3\sqrt{3} - 2\sqrt{2}}{9\sqrt{3}}$.

$\frac{1}{4}-\frac{5}{4 \cdot 8}+\frac{5 \cdot 7}{4 \cdot 8 \cdot 12}-\ldots=$

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