एक अतिपरवलय (hyperbola),दीर्घवृत्त (ellipse) | vedclass

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Question

(C) माना अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $\frac{x^2}{13^2} + \frac{y^2}{5^2} = 1$ है।दीर्घ

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$\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{25} = 1$

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(C) माना अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $\frac{x^2}{13^2} + \frac{y^2}{5^2} = 1$ है।दीर्घवृत्त के लिए,$a = 13$ और $b = 5$ है।उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$ है।दीर्घवृत्त की नाभि $(\pm ae, 0) = (\pm 12, 0)$ है।चूंकि अतिपरवलय $(\pm 12, 0)$ से गुजरता है,इसलिए $\frac{144}{a^2} = 1$,जिसका अर्थ है $a^2 = 144$ है।अतिपरवलय की उत्केंद्रता $e' = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{b^2}{144}}$ है।उत्केंद्रताओं का गुणनफल $1$ है,इसलिए $e 	imes e' = 1$ है।$\frac{12}{13} 	imes \sqrt{1 + \frac{b^2}{144}} = 1$ है।$\sqrt{1 + \frac{b^2}{144}} = \frac{13}{12}$ है।दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$1 + \frac{b^2}{144} = \frac{169}{144}$ है।$\frac{b^2}{144} = \frac{25}{144}$,इसलिए $b^2 = 25$ है।अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{25} = 1$ है।

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