lim _{n rightarrow infty}left(frac{1^2}{n^3+1 | vedclass

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Question

(D) माना $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{r^2}{n^3+r^3}$.हम योग को इस प्रकार लिख सकते हैं:$L = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{

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$\log \sqrt[3]{2}$

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(D) माना $L = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{r^2}{n^3+r^3}$.हम योग को इस प्रकार लिख सकते हैं:$L = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \frac{r^2}{n^3(1+(r/n)^3)} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n \frac{(r/n)^2}{1+(r/n)^3}$.निश्चित समाकल की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n f(\frac{r}{n}) = \int_0^1 f(x) dx$,हमें प्राप्त होता है:$L = \int_0^1 \frac{x^2}{1+x^3} dx$.माना $1+x^3 = t$,तो $3x^2 dx = dt$,या $x^2 dx = \frac{dt}{3}$.जब $x=0, t=1$ और जब $x=1, t=2$.$L = \int_1^2 \frac{1}{t} \cdot \frac{dt}{3} = \frac{1}{3} [\log |t|]_1^2 = \frac{1}{3} (\log 2 - \log 1) = \frac{1}{3} \log 2$.$a \log b = \log b^a$ गुणधर्म का उपयोग करते हुए,हमें मिलता है $\frac{1}{3} \log 2 = \log 2^{1/3} = \log \sqrt[3]{2}$.

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1^2}{n^3+1^3}+\frac{2^2}{n^3+2^3}+\ldots+\frac{n^2}{n^3+n^3}\right)=$

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$\lim_{n \to \infty} \left[ \frac{1}{n}\sin \left( \frac{1}{n} \right)\left( \cos \left( \frac{1}{n} \right) \right)^2 + \frac{1}{n}\sin \left( \frac{2}{n} \right)\left( \cos \left( \frac{2}{n} \right) \right)^2 + \dots + \frac{1}{n}(\sin 1)(\cos 1)^2 \right]$ का मान क्या है?

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^{77}+2^{77}+\ldots+n^{77}}{n^{78}} = $

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