lim _{n rightarrow infty} sum_{r=1}^n cot ^{- | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot ^{-1}(x) = 	an ^{-1}\left(\frac{1}{x}ight)$.તેથી,આપેલ પદાવલિ $\lim _{n ightarrow \infty} \sum_{r=1}^n 	an ^{-1}\left

Vedclass · Accepted Answer

$	an ^{-1} 2$

Vedclass · Answer

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot ^{-1}(x) = 	an ^{-1}\left(\frac{1}{x}ight)$.તેથી,આપેલ પદાવલિ $\lim _{n ightarrow \infty} \sum_{r=1}^n 	an ^{-1}\left(\frac{1}{r^2+\frac{3}{4}}ight)$ છે.આપણે દલીલને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ: $\frac{1}{r^2+1-\frac{1}{4}} = \frac{1}{1+(r^2-\frac{1}{4})} = \frac{1}{1+(r-\frac{1}{2})(r+\frac{1}{2})}$.નિત્યસમ $	an ^{-1}(a) - 	an ^{-1}(b) = 	an ^{-1}\left(\frac{a-b}{1+ab}ight)$ નો ઉપયોગ કરતા:$	an ^{-1}\left(\frac{(r+\frac{1}{2})-(r-\frac{1}{2})}{1+(r+\frac{1}{2})(r-\frac{1}{2})}ight) = 	an ^{-1}\left(r+\frac{1}{2}ight) - 	an ^{-1}\left(r-\frac{1}{2}ight)$.હવે,સરવાળો એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી બને છે:$S_n = \sum_{r=1}^n \left[	an ^{-1}\left(r+\frac{1}{2}ight) - 	an ^{-1}\left(r-\frac{1}{2}ight)ight]$$S_n = \left(	an ^{-1} \frac{3}{2} - 	an ^{-1} \frac{1}{2}ight) + \left(	an ^{-1} \frac{5}{2} - 	an ^{-1} \frac{3}{2}ight) + \dots + \left(	an ^{-1} \left(n+\frac{1}{2}ight) - 	an ^{-1} \left(n-\frac{1}{2}ight)ight)$.બધા મધ્યવર્તી પદો રદ થઈ જાય છે,અને બાકી રહે છે $S_n = 	an ^{-1}\left(n+\frac{1}{2}ight) - 	an ^{-1}\left(\frac{1}{2}ight)$.જ્યારે $n ightarrow \infty$ હોય ત્યારે લક્ષ લેતા:$\lim _{n ightarrow \infty} S_n = 	an ^{-1}(\infty) - 	an ^{-1}\left(\frac{1}{2}ight) = \frac{\pi}{2} - 	an ^{-1}\left(\frac{1}{2}ight) = \cot ^{-1}\left(\frac{1}{2}ight) = 	an ^{-1}(2)$.

યાદી $I$	યાદી $II$
$P$. $\left(\frac{1}{y^2}\left(\frac{\cos (\tan ^{-1} y)+y \sin (\tan ^{-1} y)}{\cot (\sin ^{-1} y)+\tan (\sin ^{-1} y)}\right)^2+y^4\right)^{1 / 2}$ ની કિંમત	$1$. $\frac{1}{2} \sqrt{\frac{5}{3}}$
$Q$. જો $\cos x+\cos y+\cos z=0=\sin x+\sin y+\sin z$ હોય,તો $\cos \frac{x-y}{2}$ ની શક્ય કિંમત	$2$. $\sqrt{2}$
$R$. જો $\cos (\frac{\pi}{4}-x) \cos 2 x+\sin x \sin 2 x \sec x=\cos x \sin 2 x \sec x+\cos (\frac{\pi}{4}+x) \cos 2 x$ હોય,તો $\sec x$ ની શક્ય કિંમત	$3$. $\frac{1}{2}$
$S$. જો $\cot (\sin ^{-1} \sqrt{1-x^2})=\sin (\tan ^{-1}(x \sqrt{6})), x \neq 0$ હોય,તો $x$ ની શક્ય કિંમત	$4$. $1$

યાદી-$I$	યાદી-$II$
$A$. $\sin ^{-1}\left(\frac{2 \sqrt{2}}{3}\right)+\sin ^{-1} \frac{1}{3}$	$I$. $k \pi \pm(-1)^k \frac{\pi}{6}, k \in Z$
$B$. $\sin ^{-1}\left(\frac{(-1)^n}{2}\right), n \in Z$	$II$. $k \pi \pm 1, k \in Z$
$C$. $\tan ^{-1}\left(\sec \frac{\pi}{4}+\tan \frac{\pi}{4}\right)$	$III$. $\frac{3}{2}$
$D$. $\sin ^{-1}\|\sin x\|=\sqrt{\sin ^{-1}\|\sin x\|} \Rightarrow x \in$	$IV$. $\frac{3 \pi}{8}$
	$V$. $\frac{\pi}{2}$

$\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \cot ^{-1}\left(r^2+\frac{3}{4}\right)=$

Similar Questions

જો $x=\sin \left(2 \tan ^{-1} 2\right)$ અને $y=\sin \left(\frac{1}{2} \tan ^{-1} \frac{4}{3}\right)$,હોય તો

કઈ વિધેયની જોડી સમાન છે? (જ્યાં ${x}$ અને $[x]$ અનુક્રમે અપૂર્ણાંક ભાગ અને પૂર્ણાંક ભાગ વિધેય દર્શાવે છે.)

$\lim _{n \rightarrow \infty} \tan \left\{\sum_{r=1}^{n} \tan ^{-1}\left(\frac{1}{1+r+r^{2}}\right)\right\}$ ની કિંમત .......... છે.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module