lim _{n rightarrow infty} sum_{r=1}^n tan ^{- | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $r^4+r^2+1 = (r^2-r+1)(r^2+r+1)$.વળી,$r^2+r+1 - (r^2-r+1) = 2r$.તેથી,સરવાળાની અંદરના પદને આ રીતે લખી શકાય:$	an ^{-1}\left(\frac

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi}{4}$

Vedclass · Answer

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $r^4+r^2+1 = (r^2-r+1)(r^2+r+1)$.વળી,$r^2+r+1 - (r^2-r+1) = 2r$.તેથી,સરવાળાની અંદરના પદને આ રીતે લખી શકાય:$	an ^{-1}\left(\frac{2r}{1+(r^4+r^2+1)}ight) = 	an ^{-1}\left(\frac{(r^2+r+1)-(r^2-r+1)}{1+(r^2+r+1)(r^2-r+1)}ight) = 	an ^{-1}(r^2+r+1) - 	an ^{-1}(r^2-r+1)$.હવે,આ સરવાળો એક ટેલિસ્કોપિંગ શ્રેણી છે:$S_n = \sum_{r=1}^n \{	an ^{-1}(r^2+r+1) - 	an ^{-1}(r^2-r+1)\}$$S_n = (	an ^{-1}(3) - 	an ^{-1}(1)) + (	an ^{-1}(7) - 	an ^{-1}(3)) + \dots + (	an ^{-1}(n^2+n+1) - 	an ^{-1}(n^2-n+1))$$S_n = 	an ^{-1}(n^2+n+1) - 	an ^{-1}(1)$.$n ightarrow \infty$ લેતા:$\lim _{n ightarrow \infty} S_n = \lim _{n ightarrow \infty} (	an ^{-1}(n^2+n+1) - \frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$.

$\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^n \tan ^{-1}\left(\frac{2 r}{r^4+r^2+2}\right) = $

Similar Questions

વિધાન $(A)$: $1+(1+2+4)+(4+6+9)+(9+12+16)+\ldots+(81+90+100)=1000$
કારણ $(R)$: કોઈપણ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n$ માટે $\sum_{r=1}^n(r^3-(r-1)^3)=n^3$.

શ્રેણી $1 + \frac{1}{1 + 2} + \frac{1}{1 + 2 + 3} + \dots$ ના $10$ પદો સુધીનો સરવાળો કેટલો થાય?

સરવાળો $1(1!) + 2(2!) + 3(3!) + \dots + n(n!)$ બરાબર શું થાય?

જો $a_1, a_2, a_3, ..., a_n$ સમાંતર શ્રેણી હોય,તો $\frac{1}{a_1 a_2} + \frac{1}{a_2 a_3} + \frac{1}{a_3 a_4} + ... + \frac{1}{a_{n-1} a_n} = ...$

સરવાળો $\sum_{n=1}^{21} \frac{3}{(4n-1)(4n+3)}$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module