एक फलन f: R rightarrow R संबंध f(x+y)=f(x) cd | vedclass

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Question

(B) दिया गया फलन समीकरण $f(x+y)=f(x) \cdot f(y)$ है,जहाँ $x, y \in R$ है। $x=0$ और $y=0$ रखने पर,हमें $f(0)=f(0)^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $f(0

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$12$

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(B) दिया गया फलन समीकरण $f(x+y)=f(x) \cdot f(y)$ है,जहाँ $x, y \in R$ है। $x=0$ और $y=0$ रखने पर,हमें $f(0)=f(0)^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $f(0)(f(0)-1)=0$। चूँकि $f(x) 
eq 0$ सभी $x$ के लिए है,इसलिए $f(0)=1$ होना चाहिए। $x=0$ पर अवकलज की परिभाषा के अनुसार,$f^{\prime}(0) = \lim_{h ightarrow 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h ightarrow 0} \frac{f(h)-1}{h} = 4$। अब,किसी भी $x$ के लिए,अवकलज $f^{\prime}(x)$ इस प्रकार है: $f^{\prime}(x) = \lim_{h ightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h ightarrow 0} \frac{f(x)f(h)-f(x)}{h} = f(x) \lim_{h ightarrow 0} \frac{f(h)-1}{h}$। सीमा का मान रखने पर,हमें $f^{\prime}(x) = f(x) \cdot 4 = 4f(x)$ प्राप्त होता है। अतः,$f^{\prime}(6) = 4f(6) = 4 	imes 3 = 12$।

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