int frac{x}{sqrt{x^2-2x+5}} dx= | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int \frac{x}{\sqrt{x^2-2x+5}} dx$ है। अंश को $x = \frac{1}{2}(2x-2) + 1$ के रूप में लिखा जा सकता है। अतः,$I = \int \frac{\frac{1}{2}(2x

Vedclass · Accepted Answer

$\sqrt{x^2-2x+5}+\ln|x-1+\sqrt{x^2-2x+5}|+c$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int \frac{x}{\sqrt{x^2-2x+5}} dx$ है। अंश को $x = \frac{1}{2}(2x-2) + 1$ के रूप में लिखा जा सकता है। अतः,$I = \int \frac{\frac{1}{2}(2x-2)+1}{\sqrt{x^2-2x+5}} dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x-2}{\sqrt{x^2-2x+5}} dx + \int \frac{1}{\sqrt{(x-1)^2+2^2}} dx$। पहले समाकलन के लिए,$u = x^2-2x+5$ लें,तो $du = (2x-2) dx$ होगा। $\frac{1}{2} \int u^{-1/2} du = \frac{1}{2} \cdot 2u^{1/2} = \sqrt{x^2-2x+5}$। दूसरे समाकलन के लिए,सूत्र $\int \frac{1}{\sqrt{t^2+a^2}} dt = \ln|t+\sqrt{t^2+a^2}|$ का उपयोग करें। यहाँ $t = x-1$ और $a = 2$ है,इसलिए $\int \frac{1}{\sqrt{(x-1)^2+2^2}} dx = \ln|x-1+\sqrt{(x-1)^2+4}| = \ln|x-1+\sqrt{x^2-2x+5}|$। इन दोनों को जोड़ने पर,$I = \sqrt{x^2-2x+5} + \ln|x-1+\sqrt{x^2-2x+5}| + c$ प्राप्त होता है।

$\int \frac{x}{\sqrt{x^2-2x+5}} dx=$

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