alpha, beta, gamma, delta in mathbb{N} के लिए | vedclass

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Question

(D) हमारे पास समाकलन $I = \int \left( \left( \frac{x}{e} \right)^{2x} + \left( \frac{e}{x} \right)^{2x} \right) \ln x \, dx$ है। ध्यान दें कि $\left(

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(D) हमारे पास समाकलन $I = \int \left( \left( \frac{x}{e} \right)^{2x} + \left( \frac{e}{x} \right)^{2x} \right) \ln x \, dx$ है। ध्यान दें कि $\left( \frac{x}{e} \right)^{2x} = e^{2x \ln(x/e)} = e^{2x(\ln x - 1)} = e^{2(x \ln x - x)}$. इसी प्रकार,$\left( \frac{e}{x} \right)^{2x} = e^{-2(x \ln x - x)}$. माना $t = x \ln x - x$. तब $dt = (\ln x + x \cdot \frac{1}{x} - 1) \, dx = \ln x \, dx$. इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I = \int (e^{2t} + e^{-2t}) \, dt$ प्राप्त होता है। समाकलन करने पर,$I = \frac{e^{2t}}{2} - \frac{e^{-2t}}{2} + C$ प्राप्त होता है। $t = x \ln x - x$ वापस रखने पर,$I = \frac{1}{2} \left( \frac{x}{e} \right)^{2x} - \frac{1}{2} \left( \frac{e}{x} \right)^{2x} + C$ प्राप्त होता है। दिए गए रूप से तुलना करने पर,$\alpha = 2, \beta = 2, \gamma = 2, \delta = 2$ प्राप्त होता है। अतः,$\alpha + 2\beta + 3\gamma - 4\delta = 2 + 2(2) + 3(2) - 4(2) = 2 + 4 + 6 - 8 = 4$.

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यदि $\int \frac{d x}{3-2 \cos 2 x}=\frac{\tan ^{-1}(f(x))}{\sqrt{5}}+c$,(जहाँ $c$ समाकलन का स्थिरांक है),तो $f(\pi / 4)$ का मान ज्ञात कीजिए:

$\int \frac{\cos^3 x + \cos^5 x}{\sin^2 x + \sin^4 x} dx =$

यदि $\int \frac{3 \cos x-2 \sin x}{4 \sin x+5 \cos x} d x=A \log |5 \cos x+4 \sin x|+B x+c$ है,तो $A$ और $B$ हैं

$\int \frac{1}{3 \cos x - 4 \sin x + 5} dx = $

$\int \sqrt{x^2+3x} \, dx =$

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