int cos^{-1}(2x^2-1) , dx = | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int \cos^{-1}(2x^2-1) \, dx$. $x = \cos 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = -\sin 	heta \, d	heta$ प्राप्त होता है। समाकलन $I = \int \

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$2(x \cos^{-1} x - \sqrt{1-x^2}) + c$

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(C) माना $I = \int \cos^{-1}(2x^2-1) \, dx$. $x = \cos 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = -\sin 	heta \, d	heta$ प्राप्त होता है। समाकलन $I = \int \cos^{-1}(2 \cos^2 	heta - 1) \cdot (-\sin 	heta) \, d	heta$ हो जाता है। सर्वसमिका $\cos 2	heta = 2 \cos^2 	heta - 1$ का उपयोग करने पर,$I = \int \cos^{-1}(\cos 2	heta) \cdot (-\sin 	heta) \, d	heta = \int 2	heta \cdot (-\sin 	heta) \, d	heta = -2 \int 	heta \sin 	heta \, d	heta$. खंडशः समाकलन (Integration by parts) $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ का उपयोग करने पर,जहाँ $u = 	heta$ और $dv = \sin 	heta \, d	heta$: $I = -2 [	heta(-\cos 	heta) - \int (-\cos 	heta) \, d	heta] = -2 [-	heta \cos 	heta + \sin 	heta] + c = 2	heta \cos 	heta - 2 \sin 	heta + c$. चूँकि $x = \cos 	heta$,अतः $	heta = \cos^{-1} x$ और $\sin 	heta = \sqrt{1 - \cos^2 	heta} = \sqrt{1-x^2}$ है। इन मानों को रखने पर,$I = 2x \cos^{-1} x - 2\sqrt{1-x^2} + c = 2(x \cos^{-1} x - \sqrt{1-x^2}) + c$.

$\int \cos^{-1}(2x^2-1) \, dx =$

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यदि $\int x^3 \sin 3x \, dx = \frac{1}{27}[f(x) \cos 3x + g(x) \sin 3x] + c$ है, तो $f(1) + g(1) =$

$\int(1+x) \log x \, dx =$

$\int \tan^{-1} x \, dx = $

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