int frac{x+1}{x(1+x e^x)} d x का मान ज्ञात की | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int \frac{x+1}{x(1+x e^x)} d x$. अंश और हर को $e^x$ से गुणा करने पर: $I = \int \frac{e^x(x+1)}{x e^x(1+x e^x)} d x$. माना $t = x e^x$.

Vedclass · Accepted Answer

$\log \left|\frac{x e^x}{1+x e^x}\right|+C$

Vedclass · Answer

(B) माना $I = \int \frac{x+1}{x(1+x e^x)} d x$. अंश और हर को $e^x$ से गुणा करने पर: $I = \int \frac{e^x(x+1)}{x e^x(1+x e^x)} d x$. माना $t = x e^x$. तब $dt = (e^x + x e^x) d x = e^x(1+x) d x$. इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \int \frac{dt}{t(1+t)}$. आंशिक भिन्न का उपयोग करने पर: $\frac{1}{t(1+t)} = \frac{1}{t} - \frac{1}{1+t}$. दोनों पदों का समाकलन करने पर: $I = \int \left( \frac{1}{t} - \frac{1}{1+t} \right) dt = \log |t| - \log |1+t| + C = \log \left| \frac{t}{1+t} \right| + C$. $t = x e^x$ का मान वापस रखने पर: $I = \log \left| \frac{x e^x}{1+x e^x} \right| + C$.

$\int \frac{x+1}{x(1+x e^x)} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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मान लीजिए $n \ge 2$ एक प्राकृतिक संख्या है और $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ है। तो $\int \frac{(\sin^n \theta - \sin \theta)^{\frac{1}{n}} \cos \theta}{\sin^{n+1} \theta} d\theta$ का मान ज्ञात कीजिए।

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