int frac{x+1}{x^3-1} , dx = | vedclass

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Question

(B) हमारे पास समाकलन $I = \int \frac{x+1}{x^3-1} \, dx$ है। गुणनखंड $x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1)$ का उपयोग करके,हम समाकल्य को आंशिक भिन्नों के रूप में लिखत

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$\frac{1}{3} \log \left(\frac{(x-1)^2}{x^2+x+1}\right)+c$

Vedclass · Answer

(B) हमारे पास समाकलन $I = \int \frac{x+1}{x^3-1} \, dx$ है। गुणनखंड $x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1)$ का उपयोग करके,हम समाकल्य को आंशिक भिन्नों के रूप में लिखते हैं: $\frac{x+1}{(x-1)(x^2+x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{Bx+C}{x^2+x+1}$. अंशों की तुलना करने पर: $x+1 = A(x^2+x+1) + (Bx+C)(x-1)$. $x=1$ के लिए: $2 = A(3) \implies A = \frac{2}{3}$. $x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $0 = A+B \implies B = -\frac{2}{3}$. अचर पदों की तुलना करने पर: $1 = A-C \implies C = A-1 = \frac{2}{3}-1 = -\frac{1}{3}$. अतः,$I = \int \left( \frac{2/3}{x-1} + \frac{-2/3x - 1/3}{x^2+x+1} \right) \, dx = \frac{2}{3} \ln|x-1| - \frac{1}{3} \int \frac{2x+1}{x^2+x+1} \, dx$. $I = \frac{2}{3} \ln|x-1| - \frac{1}{3} \ln|x^2+x+1| + c = \frac{1}{3} \ln \left( \frac{(x-1)^2}{x^2+x+1} \right) + c$.

$\int \frac{x+1}{x^3-1} \, dx =$

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