int_{frac{2}{e}}^{frac{1}{e}} frac{1}{x(log x | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int_{\frac{2}{e}}^{\frac{1}{e}} \frac{1}{x(\log x)^{1/3}} dx$.प्रतिस्थापन $t = \log x$ लेने पर,$dt = \frac{1}{x} dx$.जब $x = \frac{1}{e

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{3}{2}\left\{1-(\log 2-1)^{\frac{2}{3}}\right\}$

Vedclass · Answer

(D) माना $I = \int_{\frac{2}{e}}^{\frac{1}{e}} \frac{1}{x(\log x)^{1/3}} dx$.प्रतिस्थापन $t = \log x$ लेने पर,$dt = \frac{1}{x} dx$.जब $x = \frac{1}{e}$,तब $t = \log(\frac{1}{e}) = -1$.जब $x = \frac{2}{e}$,तब $t = \log(\frac{2}{e}) = \log 2 - \log e = \log 2 - 1$.अतः,$I = \int_{\log 2 - 1}^{-1} t^{-1/3} dt$.समाकलन करने पर,$I = \left[ \frac{t^{2/3}}{2/3} \right]_{\log 2 - 1}^{-1} = \frac{3}{2} \left[ t^{2/3} \right]_{\log 2 - 1}^{-1}$.$I = \frac{3}{2} \left[ (-1)^{2/3} - (\log 2 - 1)^{2/3} \right]$.चूंकि $(-1)^{2/3} = ((-1)^2)^{1/3} = 1^{1/3} = 1$,इसलिए $I = \frac{3}{2} \left[ 1 - (\log 2 - 1)^{2/3} \right]$.

$\int_{\frac{2}{e}}^{\frac{1}{e}} \frac{1}{x(\log x)^{\frac{1}{3}}} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $\alpha = \int_0^1 \left(e^{9x + 3 \tan^{-1} x}\right) \left(\frac{12 + 9x^2}{1 + x^2}\right) dx$,जहाँ $\tan^{-1} x$ केवल मुख्य मान लेता है,तो $\left(\log_e |1 + \alpha| - \frac{3\pi}{4}\right)$ का मान है

$\int\limits_0^{\frac{1}{2}} \frac{1}{1 - x^2} \ln \left( \frac{1 + x}{1 - x} \right) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_1^{e^2} \frac{dx}{x(1+\log x)^2} = $

$\int_{3}^{5} \frac{1}{2x + 3} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

समाकलन $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+\cos ^{2} x} \,d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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