int_0^1 frac{log _e(1+x)}{1+x^2} d x= | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) माना $I = \int_0^1 \frac{\log _e(1+x)}{1+x^2} d x$ है। $x = 	an 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,$d x = \sec^2 	heta d 	heta$ प्राप्त होता है। जब $

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi}{8} \log _e 2$

Vedclass · Answer

(D) माना $I = \int_0^1 \frac{\log _e(1+x)}{1+x^2} d x$ है। $x = 	an 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,$d x = \sec^2 	heta d 	heta$ प्राप्त होता है। जब $x = 0$,तो $	heta = 0$,और जब $x = 1$,तो $	heta = \frac{\pi}{4}$। अतः,$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\log _e(1+	an 	heta)}{1+	an^2 	heta} \sec^2 	heta d 	heta = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log _e(1+	an 	heta) d 	heta$ ... $(i)$। गुणधर्म $\int_0^a f(	heta) d 	heta = \int_0^a f(a-	heta) d 	heta$ का उपयोग करने पर: $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log _e(1+	an(\frac{\pi}{4}-	heta)) d 	heta$। चूंकि $	an(\frac{\pi}{4}-	heta) = \frac{1-	an 	heta}{1+	an 	heta}$,इसलिए: $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log _e(1 + \frac{1-	an 	heta}{1+	an 	heta}) d 	heta = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log _e(\frac{2}{1+	an 	heta}) d 	heta$। $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log _e 2 d 	heta - \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log _e(1+	an 	heta) d 	heta$। $I = \frac{\pi}{4} \log _e 2 - I$। $2I = \frac{\pi}{4} \log _e 2 \implies I = \frac{\pi}{8} \log _e 2$। अतः,विकल्प $(D)$ सही है।

$\int_0^1 \frac{\log _e(1+x)}{1+x^2} d x=$

Similar Questions

$\int_0^1 \frac{8 \log (1+x)}{1+x^2} \,d x=$

$n > 0$ के लिए,$\int_0^{2\pi } {\frac{{x{{\sin }^{2n}}x}}{{{{\sin }^{2n}}x + {{\cos }^{2n}}x}}\,dx = } $

यदि $\int_0^\pi {xf(\sin x)dx = A} \int_0^{\pi /2} {f(\sin x)dx} $ है,तो $A$ का मान क्या है?

$\sum_{n=1}^{100} \int_{n-1}^{n} e^{x-[x]} dx$ का मान ज्ञात कीजिए,जहाँ $[x]$ वह महत्तम पूर्णांक है जो $x$ से छोटा या उसके बराबर है।

$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\sin^2 x}{1 + 2^x} dx = \dots$

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module